随机过程-习题-第1章

随机过程习题第1章1-11.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A和B，从1t秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。如果每一乘客以概率21登上A车，以概率21登上B车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j代表jt时乘客登上A车的状态，即乘客登上A车则1j，乘客登上B车则0j，即211jP,210jP，当nt时在A车上的乘客数为njjn1n是一个二项式分布的计算过程。（1）求n的概率分布，即；nkkPn,,2,1,0?（2）当公共汽车A上到达10个乘客时，A即开车（例如21t时921，且22t时又有一个乘客登上A车，则22t时A车出发），求A车的出发时间n的概率分布。(1)解：nt时在A车上的乘客数n服从二项分布，即),,2,1,0(2101nkCPPCkPnknknjkjknn(2)解：A车的出发时间t服从负二项分布。设在n时刻第10位乘客登上A车，即A车出发时间nt，那么在前1n个时刻登上A车的乘客数为9，登上B车的乘客数为10n；若设乘客登A车概率为p(=1/2)，登B车概率为q(=1/2)，则随机变量nt的概率为nnnnCpqpCntP219110991其中，,12,11,10n。1.2设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过随机过程习题第1章1-2程)(t。图1-2给出了它的样本函数。求：(1))(t的一维概率密度函数)()(xft。(2))(t的二维概率密度函数)()(xft。图1-2题1.2的样本函数(1)解：因为)(t的每个周期内的脉宽是服从同一均匀分布的随机变量，且各周期间是统计独立的，所以)(t的一维概率密度函数)()(xft是以T为周期的周期函数。显然，)(t只取A和0两个值。因此，)(t的一维概率密度函数可以表示为)(}0)(Pr{)(})(Pr{)()(xtAxAtxft假设),2,1,'0()1('nTtTntt，则在第n个周期中TTntTtdTtAtnTtTnnn)1(111}'Pr{})(Pr{')1(同理可得TTntttn)1(}'Pr{}0)(Pr{于是，)(t的一维概率密度函数为)()1()()1(1)()(xTTntAxTTntxft其中，,2,1,)1(nnTtTn。(2)解：求二维概率密度函数分成两种情况：第一种情况：1t和2t不在同一周期内，由于不同周期内取值相互统计独立，所以二维概率密度函数为T2T3T(k)(t)0At1234随机过程习题第1章1-3)()1()()1(1)()1()()1(1),;,(222211112121)(xTTntAxTTntxTTntAxTTntttxxft其中，),2,1()1(1nTntnT，),2,1()1(mTmtmT，并且mn。第二种情况：1t和2t在同一周期内，再分成三种情况(脉冲沿指下降沿)：A：脉冲沿在],[1tnT间；B：脉冲沿在],[21tt间；C：脉冲沿在])1(,[2Tnt间。相应的概率为TnTtdtTAPtnT111)(同理可得TttBP12)(TtTnCP2)1()(相应的条件概率为)()(),;,(1212121|xxxttxxfA即1}0,0{21xxP。类似可得)()(),;,(212121|xAxttxxfB)()(),;,(1212121|xxAxttxxfC于是，TtTnxxAxTttxAxTnTtxxxCPttxxfBPttxxfAPttxxfttxxfCBAt2121122111212121|2121|2121|2121)()1()()()()()()()(),;,()(),;,()(),;,(),;,(随机过程习题第1章1-41.3设有一随机过程)(t，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1-3画出了一个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t=0后的第一个零值点位于0，0是一个随机变量，它在(0，T)内均匀分布，即其它值,00,1)(0TtTtf若锯齿波的幅度为A，求随机过程)(t的一维概率密度。图题1-3解：显然，)(xft是t的周期函数，且周期为T。设t=t’+(n-1)TTt'0(，),2,1n。所以，t’或者落在],0[0上或者落在],[0T上。设xt)(当],0['0t时，AxTtT)'(0由此可得xATTt)'(0于是，其它值,00,1)()(0AxAdxdyyfxft同理当],['0Tt时也有上式。因此A)()(tktT00随机过程习题第1章1-5其它值,00,1)(AxAxft上式对于所有0t成立。1.4设有随机过程tttsincos)()(t其中，为常数，且0，和是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为2exp21)(2xxf)(x2exp21)(2yyf)(y即和是正态分布N(0，1)随机变量。若把)(t写成)sin()(tVt的形式，（1）求)(vfV、)(f及),(vfV，问V和是否统计独立。（2）画出)(t的典型样本函数；（3）求)(t的一维概率密度)(zft（4）设有事件A，cttA/02d)(2，其中c为常数，求出现A事件的概率P(A)。(1)解：将)sin()(tVt展开得cossinsincos)(tVtVt因此，cossinVV由此可得雅可比为随机过程习题第1章1-6VVVVJsincoscossin),(),(由于和是相互统计独立的随机变量，所以2exp21),(22,yxyxf于是V和的联合概率密度函数为对于其它值对于,0,0,2exp2),(),(2,,vvvJyxfvfV做边缘积分得0,2exp)(2vvvvfV,21)(f由此可见，)()(),(,fvfvfVV所以，V和是相互统计独立的。(a)(b)随机过程习题第1章1-7(2)解：设1，则当4,1V时，样本函数为（a），当2,1.0V时，样本函数为(b)。(3)解：因为tttsincos)(其中，和都是正态分布的随机变量，对于任意t，)(t是和的线性组合，所以)(t仍是正态分布。显然0)}({tE，1)}({2tE所以，)(t的概率密度函数为2exp21)(2zzft)(z解决此题的另一种方法是设辅助变量，即设cossinsincosBA雅可比为1cossinsincos),().,(BAJ于是，2exp212)sincos(exp212)cossin(exp211),(),(222122122121,21,yyyyyyJxxfyyfBA因此，)(t的概率密度函数为2exp21)()(2yyfyfA随机过程习题第1章1-8(4)解：事件A为cctttcttttcttA22/02222/02222/022cos22sin422d]2sinsincos[2d)(2所以，}{}{}{222cVPcPAP由本题(1)的结论可知V服从瑞利分布，相应的V2服从指数分布，因此2d)2exp(21}{ccexxAP1.5求1.4题给出的随机过程)(t的均值和自相关函数。解：因为0][][EE所以，]sincosE[)](E[ttttEtEsin][cos][=0相关函数为),(R21tt)]sincos)(sincosE[(2211tttt)sincossin](cos[sinsin][coscos][2112212212ttttEttEttE因为和相互统计独立，所以，0][][][EEE，且1][][22EE，于是2121,cos),(Rtttt实际上，由于和是随机变量，而不是随机过程。所以相关函数为常数，功率随机过程习题第1章1-9谱为冲激函数。这说明)(t的功率谱为在处的两个冲激，即相关函数为cos。1.6设有随机过程)(t，并设x为一实数，定义另一随机过程)(t))((0)())((1)(xttxtt试证：)(t的均值和自相关函数分别为随机过程)(t的一维和二维分布函数。证明：)(t的均值为)(})({}1)({}0)({0}1)({1)]([xFxtPtPtPtPtE)(t的自相关函数为))(,)((}1)(,1)({})(,)({)]()([22112110102121xtxtFttPjtitjPittEij1.7设有随机过程},)({tt，ttcos)(。其中为均匀分布于(0,1)间的随机变量，即)(0)10(1)(值其它yyyf试证：（a）2121coscos31),(ttttR（b）2121coscos121),(ttttC证明：易得21][E，31][2E按定义，相关函数为212122121coscos31coscos}{}coscos{),(ttttEttEttR协方差函数为]}cos)2/1][(cos)21{[(),(2121ttEttC随机过程习题第1章1-10212coscos41ttE21coscos412131tt21coscos121tt1.8设有一随机过程(t)作为图题18所示的线性系统的输入，系统的输出为(t)，若(t)的相关函数为),(21ttR，试求输出随机过程(t)的自相关函数（用输入过程的相关函数表示）。图题18解：输出随机过程(t)的自相关函数为)}()({),(2121ttEttR)]}()()][()({[2211TttTttE)]()()()()()()()([21212121TtTtTtttTtttE),(),(),(),(21212121TtTtRTttRtTtRttR