随机过程-习题-第4章-02

随机过程习题第4章4-14.174.184.19设有图题4-19所示的电路，其中W0(t)为输入的随机过程，W0(t)为标准维纳过程（即4.18中的z(t)，且其1）；其输出为)(t=W0(t)-W0(t-1)。求)(t的均值和相关函数。图题4-19解：由于W0(t)为标准维纳过程，则E[W0(t)]=0。因此0)]1()([)]([00tWtWEtE)(t的相关函数为)]}1()()][1()({[),(2020101021tWtWtWtWEttR求和延迟单位时间╳1)(t)(0tW随机过程习题第4章4-2假设t1t2。当t1t2-1时，[t1-1,t1]和[t2-1,t2]是两个互不交叠的区间，由标准维纳过程为独立增量过程的性质可得0)]}1()([)]1()({[),(2020101021tWtWEtWtWEttR当t1t2-1时，[t1-1,t1]和[t2-1,t2]是两个交叠的区间。分别用A，B，C表示区间[t1-1，t2-1]、[t2-1，t1]和[t1，t2]。于是)](1[)1,min(2)1()]1()([2)]1([)]([})]1()({[][][][][][][][]E[)])(E[(),(1221212010220120220102221tttttttWtWEtWEtWEtWtWEBECEBEBECEAEBEACBBAttR即1||,01|||]|1[),(21ttR其中，12tt。4.20定义)1()(20tteWet。其中，、均为常数，0,0，)(0W代表标准维纳过程，称)(t为Ornstein-Uhlenbeck过程，求)(t的均值和相关函数。解：显然，均值为)]1([)]([20tteWEetE其中，)(0W为标准维纳过程，其均值为0。于是0)]1([20teWE相关函数为)]1()1([)]()([),(21212020)(22121tttteWeWEettEttR由于标准维纳过程的相关函数为随机过程习题第4章4-3}min{),(2121ttttRW，所以，)1(}1,1min{),(),min(2)(222)(22121212121tttttttteeeeettR4.21设有随机过程)(t，它的均值为)(t，相关函数为),(21ttR；若有随机过程)()()()(tbttat。其中，)(ta、)(tb是确定性函数，求)(t的均值和相关函数。解：均值为)()()()]()()([)]([tbtutatbttaEtE相关函数为)()()()()()()()(),()()()]()()()][()()([),(21212121212122211121tbtbtutbtatutbtattRtatatbttatbttaEttR4.22设有平稳随机过程)(t，其相关函数为||1)(||AeR其中，A，为常数，0。求dttdt)()(的相关函数。解：当0τ时，1AeR于是，1)1(2222eAeAddAeeAddRddR同理可证，当0时随机过程习题第4章4-41)(2eAR所以，1)(2eAR图(a)(b)(c)分别给出了)(R、)('R和)(R的示意图。(a)(b)随机过程习题第4章4-5(c)此外，还可以用功率谱的方法解决这类问题。4.23设有平稳随机过程)(t，它的自协方差函数为||sincos)(||AeC其中，A,,,为常数。又tttd)(d)(，求)(t的自协方差函数及方差。解：因为)(t为平稳随机过程，其均值)(t为常数，所以0d)(d)(ttt于是，)(t的自协方差函数与其自相关函数相等，即)()()()2(RRC其中，2)()(CR为常数。因此，)(t的自协方差函数为||sincos][)()(322||)2(AeCC方差为][)}({22AtD4.24随机过程习题第4章4-64.254.264.27设有随机过程)(t，它的相关函数为),(21ttR；若另有随机过程)(t、)(t定义如下：dttdbtat)()()(22)()()(dttdfdttdct其中，a、b、c、f为常数。试求)(t和)(t的互关函数),(21ttR。解：首先，])()()()()()()()([])()()()([])()([),(2121212122112121ttbfttbcttafttacEtftctbtaEttEttR根据公式),(])()([),(21)(2)(1)(2)(1)(21)()(ttRttttEttRmnmnmnmn得随机过程习题第4章4-7),(),(),(),(),(212213212122122221221ttRttbfttRttbcttRtafttRtacttR4.28.设有平稳随机过程)(t，它的均值为0，相关函数为)(R；若duutt0)()(，求)(t的方差和自协方差函数。解：)(t的均值为0，所以00)()(00duduuEtEtt设21tt，则)(t的自协方差函数为12002121dd)]()([),(),(ttvuvuEttRttC作如下积分变换vvvu得0001212010220000212121212121121121222)()()()()()()()()()()()()()(),(tttttttttttttttttttdRttdRtdRtdRtdRtdRtdvdRdvdRdvdRttC于是，方差为ttdRtttCt)(|)|(),()(t1t2vut1t2vt1t2t2t2随机过程习题第4章4-84.29设有随机过程)(t，它的均值为t，相关函数为21,ttR，协方差函数为21,ttC，若cduuebdttdtttu0110)()()()(其中，0a、1a、1b、c均为实常数。求)(t的均值和自协方差函数。解：首先，)(t的均值为cduuebdttdtcduuEebdttdEtEtEtutu01100110)()()()()()()(设tuduuuebtCdttddttdtBtttA0110)]()([)()()()()]()([)(于是，)(t的相关函数为),(),(),(),(),(),(),(),(),()()()()()()(),(21212121212121212122211121ttCttCttCttCttCttCttCttCttCtCtBtAtCtBtAEttCCBCABCBAACABCCBBAAdutuCebdutuCebdvvtCebttCdvvtCebttCdudvvuCebttCttCtututvtvttvu),(),(),(),(),(),(),(),(),(201120101011211010102110002121212120'11'2'2'12''其中，随机过程习题第4章4-9),()()(),()()()()()()()()(),(2121221212122'1'22112'221'1121''ttCttttttRttttdttddttdEtdttdtdttdEttC和),()()(),()()()()()()()()(),(2112121121'211221'1121'ttCtttttRttttdttdEtttdttdEttC同理),(),(21221'ttCtttC因此，)(t的相关函数可以表示为dutuCtebdutuCebdvvtCtebttCtdvvtCebttCtdudvvuCebttCttttCttCtututvtvttvu),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(220110210110112111010102121000212121221212021112212