随机过程-习题-第2章

随机过程习题第2章2-12.1设)(t是一马尔可夫过程，又设knnnttttt121。试证明：)/(),,/(1/1,,/11nnttknnntttxxfxxxfnnknnn即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111knnttknnntttknnntttxxfxxxfxxxfknnknnnknnn根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211ntntnnttntnnttknknttntnnttnnttknknttknnntttxfxfxxfxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxxxfnnnnnnnknknnnnnnknknknnn于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111nnttntnnttknnntttxxfxfxxfxxxfnnnnnknnn2.2试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321ttt，其中2t代表“现在”，1t代表“过去”，3t代表“将来”，若22)(xt为已知值。试证明：)/()/()/,(23/21/231/,2321231xxfxxfxxxfttttttt证明：首先，由条件概率的定义式得)(),,()/,(2321,,231/,2321231xfxxxfxxxfttttttt然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得)(),()/()()()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231xfxxfxxfxfxfxxfxxfxxxftttttttttttttt随机过程习题第2章2-2)/()/(21/23/2123xxfxxftttt2.3若)(t是一马尔可夫过程，2121mmmttttt。试证明：)/,(),,,/,(21/,2121,,,/,212121mmmtttmmmtttttxxxfxxxxxfmmmmmm证明：首先，利用性质：}|{}|{}|{CBPBCAPCABP得),,,/(),,,,/(),,,/,(211,,,/1212,,,/2121,,,/,21112122121mmttttmmmtttttmmmtttttxxxxfxxxxxfxxxxxfmmmmmmmm于是，由马尔可夫性得)/(),/(),,,/,(1/12,/2121,,,/,1122121mmttmmmtttmmmtttttxxfxxxfxxxxxfmmmmmmmm再利用性质}|{}|{}|{CABPCBPBCAP得),,,/,(2121,,,/,2121mmmtttttxxxxxfmmm=)/,(21/,21mmmtttxxxfmmm2.4若有随机变量序列,,,,21n，且,,,,21n之间相互统计独立，n的概率密度函数为)()(nnnxfxfn，),2,1(0][nEn。定义另一随机变量序列}{n如下：nn21321321211试证明：（1）序列,,,,21n具有马尔可夫性；（2）111112211]/[],,,/[nnnnnnnyyEyyyE(1)证明：由于,,,,21n相互统计独立，其n维联合概率密度函数为随机过程习题第2章2-3)()()(),,,(21212121nnyfyfyfyyyfnn由随机变量序列}{n与}{n的关系可得如下的雅可比行列式1111011001J所以，,,,,21n的n维联合概率密度函数为)()()(),,,(1121212121nnnxxfxxfxfxxxfnn于是，)()()()()()()()(),,/(121121121121121,,,/2121121nnnnnnnnnnxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxxxfnnnnnn由于221211211221211ddd)()()()(ddd),,,(),(21211nnnnnnnnnxxxxxfxxfxfxxfxxxxxxfxxfnnnnn且221211212211211ddd)()()(ddd),,,()(211211nnnnnnxxxxxfxxfxfxxxxxxfxfnnn所以，)()/(11/1nnnnxxfxxfnnn因此)/(),/(1/121,,,/1121nnnnxxfxxxxfnnnn所以，序列,,,,21n具有马尔可夫性。随机过程习题第2章2-4(2)证明：根据条件均值的定义得]/[)/(),/(],,,/[111/121,,/1122111121nnnnnnnnnnnnnnyEdyyyfydyyyyyfyyyyEnnnn于是，由给定的关系nn21和0][nE11112211][],,,/[nnnnnnyyEyyyE2.5设有随机过程(n)(n=1，2，3，…)，它的状态空间I：{x：0x1}是连续的，它的参数T为离散的，T=n(n=1，2，3，…)。设(1)为（0，1）间均匀分布的随机变量，即(1)的概率密度为)(0)10(1)()(11)1(11其它值xxfxf(1),(2),…,(m)的联合概率密度为值其它immmmmmmmmxxxxfxxxxxxxxxfxxxf,0),,,()10(1),,,(),,,(21,,2,11112121)(,),2(),1(21,,2,1(1)求(2)的边际概率密度f2(x2)；(2)试问该过程是否为马尔可夫过程；(3)求转移概率密度f2|1(x2|x1)，……，fm|m1(xm|xm1)。(4)求}31)3(,43)1({P。(1)解：由给出的(1),(2),…,(m)的联合概率密度函数可知随机过程习题第2章2-5)10(1),(121212,1xxxxxf其分布区域如右图加黑部分所示。因此，)2(的边际概率密度函数为值其它ixxxxdxxxf,01)(0ln1)(12211222(2)证明：因为11211,,2,121,,2,11211,,2,1|1),,,(),,,(),,|(mmmmmmmmmxxxxfxxxfxxxxf(0xmxm1…x11)显然,1,2,1|mmf只与xm1有关，所以该过程是马尔可夫过程。(3)解：由(2)得11211,2,1|11|1),|()|(mmmmmmmmmxxxxxfxxf其中，0xmxm11(m=1，2，3，…)。(4)解：由给出的(1)，(2)，…，(m)的联合概率密度函数可知其它值,0)10(,1),,(123213213,2,1xxxxxxxxf于是，131313212212321313,1ln1d1d),,(),(xxxxxxxxxxxxxxxfxxf其它值,0)10(,ln113311xxxxx1x2x21xx1随机过程习题第2章2-6所以，31)23ln(32)23ln(32dln21ddln1}31)3(,43)1({23/10343313/104/33131133xxxxxxxxPxx2.6设有一参数离散、状态连续的随机过程,2,1),(nn，它的状态空间为0;:xxI，又)1(的概率密度函数为值其它100)()(111111xxexfxfx)(,),2(),1(m的m维联合概率密度为值其它ixxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxfmmmmmmmmmm0),,,()0,,0,0()](exp[),,,(21,,2,12111221112121,,2,1（1）求边际概率密度),,,(1211,,2,1mmxxxf（2）求)2(的概率密度；（3）说明该过程是马尔可夫过程，并求其转移概率密度)/(1/1mmttxxfmm(1)解：由m维联合概率密度可得m-1维联合概率密度)](exp[)exp()](exp[)](exp[),,,(11221221011122112101122111211211,,2,1xxxxxxxxdxxxxxxxxxxxdxxxxxxxxxxxxxxfmmmmmmmmmmmmmmmmm随机过程习题第2章2-7(2)解：同(1)理可求得：)](exp[),,,(112323212212,,2,1xxxxxxxxxxxfmmmmm)](exp[),(1121212,1xxxxxxf所以，值其它222201112122,00,)1(1)](exp[)(xxxdxxxxxxf(3)解：由条件概率的定义可得)exp(),,,(),,,(),,,/(111211,,2,121,,2,11211,,2,1/mmmmmmmmmmmxxxxxxfxxxfxxxxf由此可见，当m-1时刻的状态确定时，m时刻的状态与以前时刻的状态无关。所以，该过程为马尔可夫过程。其转移概率密度为值其它immmmmmmmmxxxxxxxxf,00,0,)exp(/11111/2.7有三个黑球和三个白球。把六个球任意等分给甲乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后互相交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n次交换，过程的状态为)(n(n=1，2，3，4，…)。(1)试问此过程是否为马尔可夫链；(2)计算它的一步转移概率矩阵。(1)证明：显然，该过程由当前状态转移到另一个状态的转移概率只与当前状态和转移到的状态有关，与其它时刻的状态无关。因此，该过程是为马尔可夫链。(2)解：以甲袋中的白球数i作为该过程的状态。当0i和3时，过程状态由i转移到j概率为随机过程习题第2章2-8值其它，jijiijiiijiinjnP0)1(,3)(,3332)1(,33})(|)1({22当i=0时，101P，)1(00jPj；当i=3时，132P，)2(03jPj。于是，一步转