小学数学思想与方法

小学数学渗透数学思想与方法的思考学习没有捷径,只有技巧和方法思考:•1.在一个减法算式里,被减数、减数、差的和除以被减数,商是多少?•2.计算666666转化思想999444•3.如图,求长方形BDEF的面积?5,6,ADcmCFcmABDEFC补25630cm•4.如图:在一个三角形中有一个正方形,求空白部分的面积是多少?2030A旋转法两个空白三角形拼成一个直三角形230202300.cm3020•5.在直角三角形中,AB=20厘米,BC=30厘米,在其内作一个正方形EOFB,求正方形EOFB的面积?AEOBFC代数法解:设正方形边长为,xcm20230230202xx25300x12x21212144.cm•6.一根绳子对折,对折再对折,从中间剪一刀,一共有几段?一、数学思想方法定义数学思想:是指数量关系和空间形式反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识.数学方法:是数学思想的表现形式得以实现的手段,‘方法’指向‘实践’;而数学思想是数学方法的•灵魂,它指导方法的运用.数学思想具有概括性和普遍性,而方法则具有操作性和具体性;数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系,是数学方法进一步的概括与升华.•关于数学思想方法,北京师范大学钱佩玲教授指出:“数学思想方法是数学内容为载体,基于数学知识,又高于数学知识的一种隐性知识,”是处理数学问题的指导思想和策略,是数学的灵魂.•中国科学院院士,数学家张景中先生曾指出:“小学生的数学很初等,很简单.但尽管简单,里面却蕴涵一些深刻的数学思想.”•关于数学思想方法的重要性,“很早就有这样的认识:学习数学不仅要学习它的知识内容,而且要学习它的精神、思想和方法.掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆,领会数学思想方法是通向迁移大道的‘光明之路’”.结合小学数学的具体内容渗透数学思想方法,不仅能使小学生更好地理解和掌握数学内容,更有利于小学生感悟数学思想方法.二、数学课程标准对渗透数学思想方法的要求.教育部2001年颁发的《全日制义务教育课程标准(实验稿)》基本理念中,4.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事实现活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的实现活动经验.•第二部分总体目标:获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能;•第一次将“基本的数学方法”作为学生学习的目标之一,改变了长期形成的“双基”(数学基本知识、基本技能)教与学的目标.•在“课程实施建议”中多次提出,要根据小学生已有经验,心里发展规律以及所学内容的特点,采用逐步渗透、螺旋上升,引导学生感悟数学思想方法.基于“全面知识”的数学观和教学观,数学课程重视数学思想方法,关注学生在数学学习过程中对数学思想方法的感悟,更加关注的数学思想方法本身,而•不仅仅是通过渗透数学思想方法加深对数学知识的理解.新目标不仅关注显性的“双基”,而且关注隐性的数学思想方法,注重“双基”与数学思想方法的结合,使二者相互促进形成有机整体,这并不是对传统特色的否定,而恰恰是对数学教学“双基”特色的继承和发展.实现这一目标,需要在数学活动中,继续促进学生理解知识,掌握基本技能,同时启发他们领会数学思想方法,真正促进他们全面、持续、和谐发展.•教育部2011年颁发的《全日制义务教育课程标准》基本理念:2.它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成和蕴涵的数学思想方法.3.使学生理解和掌握基本的数学知识与技能,体会和运用数学思想与方法,获得基本的教学活动经验.第二部分课程目标•一、总目标:1.获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学知识、基本技能、基本思想、基本活动.(简称四基)•数学思考:学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.三、小学数学几种常用的数学思想方法•小学数学中蕴涵的数学思想方法很多,最基本的数学思想方法有转化思想方法、类比思想方法、数形结合思想方法、模型思想方法、极限思想方法、分类思想方法等.(一)从整体上看问题的思想方法•解数学题常常化“整”为“零”,使问题变得简单,有利于问题的解决,不过有时则反其道而行之,需要由“局部”到“整体”.站在整体的立场上,从问题的整体考虑,综观全局研究问题,通过研究整体结构,整体形式来把握问题的本质,从中找到解决问题的途径.•成语“一叶障目”和“只见树木,不见森林”的意思是如果过分注意细•节,而忽视全面,就不会真正地理解一个东西,解数学题也是这样,有时候不能过分拘泥于细节,要适时调整视觉,注意从整体上看问题,即着眼于问题的全过程,抓住其整体的特点,往往能达到化繁为简,变难为易的目的,促使问题的解决.•我国著名数学家苏步青教授,有一次到德国去,遇到一位有名的数学家,他在电车上出了一道题让苏教授做,这道题目是:•例1:甲、乙两人同时从两地,相向而行,距离是50千米,甲每小时走3千米,乙每小时走2千米,甲带着一只狗,狗每小时跑5千米,这只狗同甲一起出发,碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑,碰到甲的时候它就掉头往乙这边跑,碰到乙的时侯再往甲这边跑…直到两人相遇为止,问这只狗一共跑了多少千米?着眼于“狗不断跑”,这个全过程,,抓住“直到甲、乙相遇为止”,这个整体去分析,知道狗跑的时间就是甲、乙两人相遇时间.•例2:有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件共需315元;若购甲4件,乙10件,丙1件共需420元,问购甲、乙、丙各1件共需多少元?315×3-420×211111113:)()2320012320012002例计算(1)(1+1111111(1)()23200120022320012255(2)(97)()7979111111(3)(74)()456456例4.如图一个正方体的木块,棱长3米,沿水平方向将它锯成4片,每片锯成5长条,每条又锯成6小块,这样就得到大大小小的长方体120个,这120个的表面积之和是多少平方米?•例5.搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时,有同样的仓库A和B,甲在A仓库,乙在B仓库同时开始搬运货物,丙先帮甲搬运,中途又转向乙搬运,最后两个仓库的货物搬完.问丙帮甲、乙各搬运几小时?•两个仓库搬完要几小时?1112()1012158(小时)帮甲几小时?11(18)10153(小时).•例6.已知两个正方形的面积差为200平方厘米,求两圆的环形的面积?(二)转化(化归)的思想方法•数学知识是一个整体,它的各部分之间相互联系,有时也可以相互转化.转化可以将数的一种形式转化为另一种形式,一种运算转化为另一种运算,一个关系转化为另一个关系,一个量转化另一个量,一种图形转化另一种或几种图形,使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象.为了有利于学生学习和研究,我们注意将新知识转化成学生•已学过的知识,将较为复杂的问题转化成比较简单的问题.例如,把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算,把分数除法的计算转化为分数乘法的计算,把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算.实际上,除了长方形的面积计算公式外,其它平面图形面积计算公式的推导,我们都是变换原来的平面图形,帮助学生把对“新”图形的认知转化成对“旧”图形的改造与提升,在“新”“旧”知识的联系中寻找到解决“新”知的方•法.研究平行四边形面积的计算时,我们把一个平行四边形“剪”“拼”转化成长方形来计算面积;研究三角形、梯形面积的计算时,我们把两个相同的三角形、梯形分别拼成一个平行四边形来计算面积;研究圆面积的计算时我们把一个圆平均分成16,32,64,…份,剪开拼成一个近似的平行四边形,由此想象无限分割(极限思想方法),拼成的图形是一个长方形.指导思想化圆为方,•通过有限分割想象无限分割,渗透极限思想方法.这样,就将原来的图形通过剪、拼等途径加以“变形”,化难为易例1.在18世纪的德国有个城市叫做哥尼斯堡,在这个城市中,有一条河叫布勒格尔河,横贯城区,在这条河上共架有七座桥,一个人要一次走过这七座桥,但每座只许走一次,如何走才能成功呢?AB20082.200820082009例计算2008:200820082009解因为1201012009200920082008200820081(20082008)20092009所以20101200920092010•例3.如图已知正方形ABCD和正方形CEFG连接,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中三角形BDE面积是多少平方厘米?ABCFEDG解:连接CE,,BDEC四边形是梯形因为ΔBOC的面积与ΔDOE面积相等O三角形BDE的面积就是正方形ABCD面积的一半21010250()cm•例4如图,ΔAEF的面积比ΔDEC的面积大10.5平方厘米,求线段BC的长度?ABCDEF4cm6cm把条件:ΔAEF的面积比ΔDEC的面积大10.5平方厘米,转化为长方形ABDF的面积比ΔABC面积大10.5平方厘米.(6×4-10.5)×2÷6•例5一项工程,甲、乙合作要12天完成,若甲先做3天后再乙工作8天,共完成•这件工作的如果这件工作由甲、乙单独做各要几天?5,12把甲先做3天后再乙工作8天转化为甲乙合作3天再由乙做(8-3)天•例6甲、乙、丙、丁四人去买电视机,甲带的钱是另外三人所带总钱数的一半,乙带的钱是另外三人所带总钱数的•,丙带的钱是另外三人所带总钱数的•,丁带910元,四人所带的总钱数是多•少元?1314转化单位“1”,四人所带的总钱数为单位“1”•例7甲、乙两数是不相等的自然数,甲数的与乙数的相等,那么甲、•乙两数的和最小是多少?2334(三)抓不变量的思想方法•大千世界在不断的变化着,既有质的变化,更有量的变化,俗话说:“万变不离其宗”,在纷乱多样的变化中,往往隐藏着某种规律,这就需要透过表面现象,找出事物变化中保持的规律,从“万变”中揭示出“不变”的数量关系,寻求某种不变性,在科学上称为守恒,在数学上就是不变量.•例1今年,祖父的年龄是小明年龄的6倍,几年后,祖父的年龄是小明年龄的5倍,又过几年,祖父的年龄是小明年龄的4倍,求祖父今年多少岁?抓住年龄差不变:5,4.360解小明今年多少岁?60÷(6-1)=12(岁)祖父今年多少岁?12×6=72(岁)•例2要把4千克10%的盐水兑换成20%的盐水,请你提供几种方案?方案一:加盐抓住水不变4×(1-10%)÷(1-20%)-4方案二:蒸发水抓住盐不变4-4×10%÷20%•例3某工厂有两个车间,一车间是二车间的,后来从一车间调2人到二车间,•这时一车间是二车间的,一车间原有多少人?4534本题抓住两车间总人数不变,然后转化关键句.432()126().5443人412656().54人•例4某公司的女工占职工总人数的,•扩大规模后又招进30名女工,这时女工占职工总人数的,该公司原有职工多少人?81559本题抓住男职工人数不变方法一:方程解:设该公司原有职工人,x85(1)(1)(30)159xx方法二8,158原来女工是男工的595后来女工是男工的5830()47280()人8280(1)15600().人(四)设数法的思想方法•1.学习假设具体数据分析推导的方法.•2.用“以实代虚”的解题策略分析解决实际问题.•有些数学问题,突出地反映数学本身的抽象性,这些问题有的看上去似乎数据不全,有的甚至没有一个具体的数据,可题目却要计算结果,让人为难,这么办?•用假设具体数据的方法分析推导,不仅能使抽象的问题具体化,以利于理解和掌握题中的数量关系,而且因为有具体数据,推算起来更方便.•例1甲校学生人数是乙校人数的40%,甲校女生人数是本校学生人数的30%,甲校男生是乙校人数的百分之几?•例2某