数学模型思想及其渗透教学

数学模型思想及其教学渗透BDAC生活问题数学化模型化哥尼斯堡七桥问题一笔画问题一条小河从哥尼斯堡的市中心穿过，河中有两个小岛，河上有七座桥连接这两个小岛和河的两岸。能不能一次连续走完这七座桥，而不在任何一座桥上重复通过，并且最后还回到原来的起点？（现实背景中的生活问题）这个问题吸引了无数游人去实地尝试和研究。它最终是由十八世纪大数学家欧拉解决的，欧拉没有亲自到实地去踏察，而是用A、B、C、D四个点分别代表小岛和两岸，并把七座桥抽象为七条线段，与四个点连接成为一个图形。（生活问题的数学化）这样，就把能否一次走过七座桥而无重复，转化为能否一笔画出这个图形的问题。（数学问题模型化）欧拉仔细分析了“一笔画问题”数学模型的结构特征，发现能够一笔画出的图形只能有一个起点和一个终点，并且图中要么没有奇顶点，要么只有两个奇顶点。他应用这个结论去考察上述问题，发现图中四个点都是奇点，因此不能一笔画出。于是，他断定这七座桥不可能无重复地一次走完。并运用“一笔画问题”的原理阐明了其中的道理。（运用模型求解）赢得了世人的公认。（运用模型解释）（对解与相应模型的价值判断）此后“一笔画问题”的原理及其推论，普遍成为人们解决类似实际问题的数学模型。（模型的价值判断与变式、推广应用）这是一个生活问题数学化，数学问题模型化的经典范例，它让人们在惊叹数学家理性智慧的同时，领略到数学建模对于实际问题解决的效用之美。数学建模就是针对或参照现实世界中某一特定对象或现象,从某种特定的目的出发，按照一定的价值取向，作出必要的简化和假设，运用适当的数学工具、方法得到一定的数学结构,并用它来刻画和解释特定对象或现象的现实性态,预测对象或现象的未来状况,提供处理对象或现象的优化决策和控制方略。数学建模就是针对或参照现实世界中某一特定对象或现象（如上例中游人行走七桥的尝试），从某种特定的目的出发（作出能否一次无重复地走完的判断），按照一定的价值取向（试图数学地解决与阐明此类问题），作出必要简化和假设（画示意图），运用适当的数学工具、方法（奇、偶点的分析）得到一定的数学结构（“一笔画问题”特征，并用它来刻画和解释特定对象或现象的现实性态（七桥能否一次无重复地走完的判断与解释），预测对象或现象的未来状况（“一笔画问题”的推广与变式），提供处理对象或现象的优化决策和控制方略（“一笔画问题”原理的数学模型）。数学化表达）(一)关于数学模型的内涵分析与界定二、探讨的主要质点(二)关于数学建模的认知与解读数学建模作为方法与过程的统一体，贯穿于数学教学活动的始终，是数学认知活动的重要内容，更是数学探究活动的主要方式；是数学学习的核心要素，也是数学教学的中心环节；是揭示数学本质和演绎数学思想的平台，又是感悟数学价值和实施数学应用的载体。数学建模，即数学模型的建构。(一)关于数学模型的内涵分析与界定二、探讨的主要质点(二)关于数学建模的认知与解读(三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透数学模型思想是对数学模型与数学模型建构的本质认识。所谓思想是指客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，属于理性认识。有实践就会有真知，有思考就会有卓见，实践加思考，真知变卓见，循环诚恒之，必然成思想！(一)关于数学模型的内涵分析与界定二、探讨的主要质点(二)关于数学建模的认知与解读(三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透(四)关于数学建模教学方略的探想生活问题的数学化数学应用的生活化•事物之间的相互关系；•事件发生的内在规律；•事情所蕴含的事理。由数学模型联想实际应用、有实际问题联想相应的数学模型、用数学模型解释实际问题、事件、现象所蕴含的原理。数学建模教学除了从数学外部获得最初的来源和发展的原动力之外，还应当从解决数学内部矛盾的需求那里获得资源和策动力。对于运用既有数学知识解决新的数学问题时所形成的认知冲突，直接利用数学原理、方法与数学思维，建构新的数学模型，以化解冲突，解决问题（如在整数范围内2÷3的商无法表示的问题，通过建立分数与除法的关系的数学模型去解决），这也是数学建模教学常用的基本方略。这也将是我们下一阶段就数学模型思想及其渗透教学的主要研究内容。我们的认识：“数学模型”与“模型思想”是《义务教育数学课程标准》赋予数学教育的新的内涵。在广义数学模型观下，数学是关于模型的科学，数学体系是由一个个数学模型与模型系统构成的模型体系。对数学的认知，就是对数学模型及其建构方略的理解与掌握，它只有深刻到“模型”的意义上，才真正到达了数学的本质和数学思想的层面。“生活问题的数学化”与“数学应用的生活化”是学生数学模型思想养成教育的基本途径和方略。(一)关于数学模型的内涵分析与界定二、探讨的主要质点一个基本数学概念就是一个相对独立的数学模型；而一个个彼此关联的概念，纵横贯通，在一定的逻辑关系下形成多元结构的概念群，便成为相对完整的数学模型系统。纵向观察分析：随着某一数学概念的推广与拓展，在属种关系下，由一个属概念派生的一个个种概念，又是一个个新的数学模型。横向观察分析：伴随着一个概念的产生，往往会有一些与之并列的概念或概念系统相应地生成，它们也都是一个个数学模型与模型系统。在广义数学模型观下，数学是关于模型的科学，数学体系是由一个个数学模型与模型系统构成的模型体系。(二)关于数学建模的认知与解读数学模型建构即数学建模，它是通过建立数学模型来描述、刻画客观现实和解决实际问题的方法，也是一个有序、完整的系统操作（行为或思维）过程。它包括：从现实背景中发现和提出实际问题、实际问题的数学化、数学问题的模型化、运用模型求解与解释、对解与相应模型的价值判断、模型的变式与推广应用等。(二)关于数学建模的认知与解读数学建模可作为陈述性知识表征，即视作解决问题的方法。数学建模可作为程序性知识表征，即视作解决问题的过程。数学建模作为方法与过程的统一体，贯穿于数学教学活动的始终，是数学认知活动的重要内容，更是数学探究活动的主要方式；是数学学习的核心要素，也是数学教学的中心环节；是揭示数学本质和演绎数学思想的平台，又是感悟数学价值和实施数学应用的载体。(二)关于数学建模的认知与解读一个数学概念常常就是一个数学模型，随着它的拓展与推广，在种属关系下所层层派生的一个个属概念又是一个个新的数学模型。在数学概念下往会有相应的数学运算、规则、法则、定律、性质等等衍生。(三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透所谓思想是指客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果，属于理性认识。数学模型思想是对数学模型与数学模型建构的本质认识。认识来源于实践，认识的正确与否需要实践的检验。学生的数学模型思想来源于他们的数学实践活动，来源于活动中对数学模型、模型建构及其内在必然联系的理解与思考，亲身经历数学建模实践是学生感悟与形成模型思想的最直接的载体和最有效的途径。二、探讨的主要质点数学史话:欧拉的七桥问题(三)关于数学模型思想的理解及其教学渗透无论是作为方法还是作为过程的建模教学都具有深刻的数学教育意义，这种意义主要体现为对数学模型思想的渗透：对学生领悟、理解模型思想的启迪，对学生形成、确立模型思想的促进，以及对学生理性精神的培养。(四)关于数学建模教学方略的探想数学模型的建构，一头联结着现实世界，一头联结着数学世界，它要对客观事物或现象的本质作数学化地描述与刻画，要在现实与数学之间通过映射、反演的相互穿越，实现意义和理性的通达。它应当是关于数学建模的方法在解决实际问题中的情境化地演绎与临场式地习得；它也应当是对于数学建模的过程在解决具体问题场景下的应然性地预设与原生态地生成。(四)关于数学建模教学方略的探想不管是作为方法，还是作为过程的教与学的活动；也不管是作为教师一方的应然性预设和情境化演绎，还是作为学生一方的临场式习得与原生态生成。它都需要依赖于现实而具体的操作平台和真切而实在的临场体验、感悟，这种平台的搭建与场域氛围的营造，需要有一个由现实的生活背景、鲜活的原始素材、典型的问题情境、翔实的探究过程等作为承载与支持的载体。(四)关于数学建模教学方略的探想从数学建模的角度去考察生活，容易发现许多生活问题其内核和精髓，本质上就近似或类似于数学模型的原型或雏形。1.生活问题的数学化某些事物之间的相互关系某些事件发生的内在规律某些事情所蕴含的事理(四)关于数学建模教学方略的探想生活问题的数学化，让学生经历的是将实际问题抽象成数学模型的过程，而数学应用的生活化，则是让学生经历应用数学模型解决实际问题的过程。2.数学应用的生活化新知形成时；新知应用时；知识综合应用中。三、数学建模教学的行与思(一)激活经验储备类化提炼建模三、数学建模教学的行与思(一)激活经验储备类化提炼建模1.激活生活经验储备，在简约事理中建模案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？1.说事理先求1套童装（1件上衣和1条裤子）的钱，再求买8套童装一共花的钱，或先求分别求出8件上衣与8条裤子的钱，再求买8套童装一共花的钱。案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？2.事理的数学概括（1件上衣的钱+1条裤子的钱）×套数=一共花的钱1件上衣的钱×件数+1条裤子的钱×条数=一共花的钱即（1件上衣的钱+1条裤子的钱）×套数=1件上衣的钱×件数+1条裤子的钱×条数案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？3.事理向算理的嬗变（90+60）×8=1200;90×8+60×8=1200即（90+60）×8=90×8+60×8案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？4.算理的推广你能找出类似于（90+60）×8=90×8+60×8这样的等式吗？案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？5.算理的符号化——数学模型的形成这样的等式有多少？列举得完吗？你能想个办法将它表示出来吗？案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？5.算理的符号化——数学模型的形成两个数的和与一个数相乘，等于将这两个数分另与一个数相乘，然后相加。案例：有一种新款童装，上衣每件90元，裤子每条60元，学校舞蹈兴趣组买来8套，一共花了多少钱？5.算理的符号化——数学模型的形成（a+b）×c=a×c+b×c注意点：选取的生活实例要典型，适切，具有代表性，蕴含的事理要鲜明、易于学生捕捉和揭示，并便于他们进行数学化处理、抽象概括和表述；领悟的事理，用列举实例的方式进行演绎、佐证，以及对事理作数学化推广的环节是必不可少的；算理的符号化表述——数学表达式是数学模型的重要形式，应当尽可能多地采用。2.激活学习经验储备，在类比迁移中建模建模教学中要充分利用学生先前获得的认知结构、建模经验，让学生从既有的数学知识、技能和思想方法的迁移中类推、衍生并提炼、概括新的数学模型，把建模过程化作学生运用迁移规律进行自主探究的实践和历练过程。案例：1.回溯——激活知识、经验储备，奠定迁移基础师：40×2=？，你是怎么算的？为什么可以这样算？生甲：是80，我用40+40，因为40×2表示2个40；生乙：是80，因为40是4个十，4个十乘2是8个十，8个十是80；生丙：是80，先用4×2得8，再添一个0得80，因为2个4是8，所以2个40就是80。案例：2.迁移——寻求算理、算法依据，续构新的模型师：一圈跑道400米，小明跑2圈，求他跑多少米如何列式？生：400×2。师：400×2又该怎样口算呢？请大家想一想，再把自己的想法与同伴们交流交流。生：略。（上述生甲、乙、丙叙述内容的迁移）师：如果小明跑6圈，求他跑多少米又该怎样列式呢？生：400×6。师：现在还用加法算吗？（排除负迁移的干扰）生：不，太麻烦啦！……师：那么，整百数乘一位数该怎样算呢？生：先用一位数乘