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“同课异构”杯2020年度教学技能大赛一等奖获奖作品第5讲数的开方及二次根式浙江专用1．平方根，算术平方根，立方根2.二次根式的概念式子叫做二次根式．3．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个．(2)(a)2＝．(3)a2＝|a|＝a（a≥0）；－a（a＜0）Ｗ.a(a≥0)非负数a(a≥0)4．二次根式的运算(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；(2)二次根式的乘法：a·b＝；(3)二次根式乘法的反用：ab＝_；(4)二次根式的除法：ab＝；(5)二次根式除法的反用：ab＝．ab(a≥0，b≥0)a·b(a≥0，b≥0)ab(a≥0，b＞0)ab(a≥0，b＞0)5．最简二次根式运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．6．二次根式的估值根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，并对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间．例如，估算17在哪两个整数之间时，先对17平方，找出与17相邻的两个开得尽方的整数16和25，因为161725，所以161725，即4175.1．“双重非负性”算术平方根a具有双重非负性，一是被开方数a必须是非负数，即a≥0；二是算术平方根a的值是非负数，即a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：(1)某些二次根式的题目中隐含着“a≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零．2．求值问题“五招”(1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数．1．(2016·宁波)使二次根式x－1有意义的x的取值范围是()A．x≠1B．x1C．x≤1D．x≥12．(2016·临夏州)下列根式中是最简二次根式的是()A.23B.3C.9D.12DB3．(2015·杭州)若k90k＋1(k是整数)，则k＝()A．6B．7C．8D．94．(2016·南充)下列计算正确的是()A.12＝23B.32＝32C.－x3＝x－xD.x2＝xDA5．(2015·淄博)已知x＝5－12，y＝5＋12，则x2＋xy＋y2的值为()A．2B．4C．5D．7B【例1】(1)(2015·湖州)4的算术平方根是()A．±2B．2C．－2D.2(2)256的平方根是()A．±8B．8C．±4D．4【点评】(1)一个正数的算术平方根是正数；(2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．BC[对应训练]1．(1)(2016·杭州)9＝()A．2B．3C．4D．5(2)(2016·宁波)实数－27的立方根是____．(3)已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是____．B－32【例2】(1)(2016·贺州)要使代数式x＋1x有意义，则x的取值范围是．(2)(2016·金华)能够说明“x2＝x不成立”的x的值是____(写出一个即可)．(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，试化简：（a＋b＋c）2＋（a－b－c）2＋（b－c－a）2＋（c－a－b）2.【点评】(1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于0；(2)注意二次根式性质(a)2＝a(a≥0)，a2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．x≥－1且x≠0－1解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c[对应训练]2．(1)如果（2a－1）2＝1－2a，则()A．a12B．a≤12C．a12D．a≥12(2)(2016·自贡)若代数式x－1x有意义，则x的取值范围是____．(3)若20n是整数，则正整数n的最小值为____．Bx≥15【例3】(1)(2015·宁夏)下列计算正确的是()A.3＋2＝5B.12÷3＝2C．(5)－1＝5D．(3－1)2＝2(2)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab；②ab·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③BB(3)计算：24－32＋23－216；(4)计算：48÷3－12×12＋24.解：原式＝26－126＋136－136＝326解：原式＝16－6＋26＝4＋6【点评】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式；(2)二次根式化简，依据ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将其移到根号外；(3)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式；(4)二次根式乘除结果要化为最简二次根式．[对应训练]3．(1)(2016·包头)计算：613－(3＋1)2＝____．(2)计算：①24×13－4×18×(1－2)0；－4解：原式＝26×33－4×24×1＝22－2＝2②(32－1)(1＋32)－(22－1)2；③(10－3)2016·(10＋3)2017.解：原式＝(32)2－1－[(22)2－42＋1]＝18－1－8＋42－1＝8＋42解：原式＝(10－3)2016×(10＋3)2016×(10＋3)＝[(10－3)(10＋3)]2016×(10＋3)＝1×(10＋3)＝10＋3【例4】(1)已知x＝2－3，y＝2＋3，求x2＋xy＋y2的值；(2)已知x＋1x＝－3，求x－1x的值．【点评】(1)x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可；(2)注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝±5.解：(1)原式＝(x＋y)2－xy＝16－1＝15(2)(x－1x)2＝(x＋1x)2－4＝5，x－1x＝±5[对应训练]4．(1)已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m2＋n2－3mn的值为()A．9B．±3C．3D．5(2)(2015·孝感)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是()A．0B.3C．2＋3D．2－3(3)若y＝x－4＋4－x2－2，则(x＋y)y＝____．CC14【例5】(1)(2016·天津)估计19的值在()A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间(2)(2016·毕节)估计6＋1的值在()A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【点评】解决根式估值类问题有两种方法：(1)记住常见的无理数的近似值，如2≈1.414，3≈1.732等；(2)估计无理数在哪两个整数之间，如9＜10＜16，即3＜10＜4，故10是3和4之间的数．通常所采用的方法为：一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，然后再对这两个整数进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间．CB[对应训练]5．(1)(2015·南京)估计5－12介于()A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间(2)(2015·新疆)估算27－2的值()A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间(3)已知10的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．CC解：∵3＜10＜4，∴10的整数部分a＝3，小数部分b＝10－3.∴a2－b2＝32－(10－3)2＝9－(10－610＋9)＝－10＋610试题已知a＝2－3，求a2－1a＋1－a2－2a＋1a－1的值．错解解：原式＝（a＋1）（a－1）（a＋1）－（a－1）2a－1＝a－1－a－1a－1＝a－2.∴当a＝2－3时，原式＝2－3－2＝－3剖析(1)题目中的隐含条件为a＝2－3＜1，所以a2－2a＋1＝（a－1）2＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；(2)注意挖掘题目中的隐含条件是解决数学问题的关键之一，上题中的隐含条件a＝2－3＜1是进行二次根式化简的依据，应注重分析能力的培养，提高解题的正确性．正解∵a＝2－3＜1，∴a－1＜0.∴a2－2a＋1＝（a－1）2＝|a－1|＝1－a.∴原式＝（a＋1）（a－1）（a＋1）－1－aa－1＝a－1＋1＝a.∴当a＝2－3时，原式＝2－3小魔方站作品盗版必究语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！数学附赠中高考状元学习方法北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：692分(含20分加分)语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心