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2019年上半年中小学教师资格考试（初级中学）数学学科知识与教学能力注意事项：1.考试时间为120分钟，满分为150分。2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。1.下列选项中，运算结果一定是无理数的是（）。A.有理数与无理数的和B.有理数与有理数的差C.无理数与无理数的和D.无理数与无理数的差2.在空间直角坐标系中，由参数方程{𝑥=𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑦=𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑡𝑧=𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑡（0≤t＜2π）所确定的曲线的一般方程是（）。A.{𝑥+𝑦=𝑎𝑧2=2𝑥𝑦B.{𝑥+𝑦=𝑎𝑧2=4𝑥𝑦C.{𝑥2+𝑦2=𝑎2𝑧2=2𝑥𝑦D.{𝑥2+𝑦2=𝑎2𝑧2=4𝑥𝑦3.已知空间直角坐标与球坐标的变换公式为{𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑧=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃，（π，0﹤≤π，−𝜋2≤θ≤𝜋2），则在球坐标系中，θ=𝜋3表示的图形是（）。A.柱面B.圆面C.半平面D.半锥面4.设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等行变换得到的矩阵，则下列结论正确的是（）。A.|A|=|B|B.|A|≠|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|＞0，则一定有|B|＞05.已知𝑓(𝑥)=∑(−1)𝑛−11(2𝑛−1)!(𝜋𝑥)2𝑛−1∞𝑛=1，则𝑓（1）=（）。A.-1B.0C.1D.π6.若矩阵A=(1−11𝑥4𝑦−3−35)有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征根，则（）。A.x=-2，y=2B.x=1，y=-1C.x=2，y=-2D.x=-1，y=17.下列描述为演绎推理的是（）。A.从一般到特殊的推理B.从特殊到一般的推理C.通过实验验证结论的推理D.通过观察猜想得到结论的推理8.《义务教育数学课程标准（2011年版）》从四个方面阐述了课程目标，这四个目标是（）。A.知识技能、数学思考、问题解决、情感态度B.基础知识、基本技能、问题解决、情感态度C.基础知识、基本技能、数学思考、情感态度D.知识技能、问题解决、数学创新、情感态度二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米粒，一天内每人完成脱粒数量（千克）的数据如下：甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，7575，78，79，82，83，83，85，86，86，89乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，6869，73，76，77，78，85，85，88，94，96问题：（1）分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（2分）（2）比照甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。（5分）10.试判断过点P1（2，0，1），P2（4，3，2），P3（-2，1，1）的平面π与平面21x+2y-7z+3=0的位置关系，并写出一个与平面π垂直的平面方程。11.已知方程x5+5x4+5x3-5x2-6x=0的两个实数解为1与-2，试求该方程的全部实数解。12.用统计方法解决实际向题的过程，主要包括哪些步骤？13.评价学生的数学学习应采用多样化的方式，请例举四种不同类型的评价方式。三、解答题（本大题1小题，10分）14.设R2为二维欧氏平面，F是R2到R2的映射，如果存在一个实数，0＜＜1，使得对于任意的P，Q∈R2，有d（F（P），F（Q））≤d（P，Q）（其中d（P，Q）表示P，Q两点间的距离），则称F是压缩映射。设映射T：R2→R2，T（（x，y））=（21x，31y），（x，y）∈R2。（1）证明：映射T是压缩映射；（4分）（2）设P0=P0（x0，y0）为R2中任意一点，令Pn=T（Pn-1），n=1，2，3，…求nlimPn。（6分）四、论述题（本大题1小题，15分）15.函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式，数列等内容。五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。16.案例：甲、乙两位数学教师均选用如下素材组织了探究活动，如图1所示，这是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为50cm，25cm和15cm，A和B是这个台阶的两个相对端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去吃食物。请你想一想，这只蚂蚁从B点出发，沿着台阶面爬到A总最短路线是什么？两位教师的教学过程如下：甲教师：用大屏幕展示问题情境，组织小组讨论，学生开始读题，教师巡视过程中看到有的同学把台阶画出来，与教学预设不符，立即中止了大家讨论，指着题目说：“同学们请注意读题，是‘沿着台阶面’，你们把这张图画出来有什么用？”在接下来的讨论中，教师又遇到新情况，有的学生画展开图，却把尺寸弄错了，于是教师终止思考。乙教师：展示情境，将问题进行分析，出示了一张台阶模样的纸片，边说边将纸片拉直，如图2所示，然后让大家研究。很快，有同学说出答案，教师解释了下，同学们都明白了。甲、乙教师课后交流：两个教师在教学中均有探究。问题：（1）（义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“有效的数学活动是教师教与学生学的统一”，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。请说明两位教师的教学是否符合要求（6分）（2）两位教师组织的探究活动各自存在什么问题，请简要说明并简述理由.（6分）（3）组织数学探究活动，需要注意哪些事项？请说明。（8分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.《义务教育数学课程标准（2011年版）》附录中给出了两个例子：例1.计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。例2.证明例1所发现的规律。很明显例1计算所得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中后两位数为25，而百位和千位上的数字存在这样的规律：1×2=2，2×3=6，3×4=12，…，这是“发现问题”的过程，在发现问题的基础上，需要尝试用语言符号表达规律，实现“提出问题”，进一步实现“分析问题”和“解决问题”。请根据上述内容，完成下列任务：（1）分别设计例1、例2的教学目标；（8分）（2）设计“提出问题”的主要教学过程；（8分）（3）设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；（7分）（4）设计“推广例1所探究的规律”的主要教学过程。（7分）