圆的内接四边形-教学设计

1《圆的内接四边形》一、教学目标（一）知识与技能目标　　1、了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；　　2、掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；　　3、熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明。（二）过程与方法目标　　1、通过圆内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；　　2、通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；　　3、通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力。（三）情感与态度目标　　1、充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；　　2、渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点。二、教学重点和难点　　重点：圆内接四边形的性质定理。难点：①感悟圆内接四边形性质证明过程中的分类、转化的数学思想；②圆内接四边形外角和内对角的辨认；③圆内接四边形性质的灵活运用。三、教学准备多媒体、实物投影仪。四、教学方式本节课主要采用探究式教学法：在教师的启发指导下，学生分组自主探究。五、教学过程（一）创设情境1、复习圆周角定理【设计意图】为证明圆内接四边形的性质提供方法和铺垫；选择新旧知识的切入点，既复习已学习的内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系。2、问题：同一条弦（不是直径）所对的圆周角有怎样的关系？【设计意图】引导学生从位置关系和数量关系两方面进行讨论，一方面使学生加深对圆周角定理的理解，另一方面，作为反例的图示中实际上已经包含了圆内接四边形，为引入新课作准备。（二）界定概念1、播放微课——《圆内接四边形》【设计意图】通过微课来介绍什么是圆内接四边形，符合初中学生的心理特点，能够引起学生的学习兴趣。2、学生总结圆内接多边形和圆内接四边形的概念2如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆。【设计意图】让学生给圆内接四边形下定义，提高学生的抽象概括能力。（三）活动探究教师活动：圆和四边形是基本的几何图形，圆的两个基本要素是：圆心和半径，对于四边形，我们往往从边、角、对角线、对称性等方面来入手进行研究。探索圆内接四边形的性质，由于圆内接四边形的内角恰好就是所在圆的圆周角，所以我们以此为研究的切入点。【设计意图】引导学生梳理研究的方向，展示研究图形的一般思路。环节一探索性质11、画一画请同学们任意画出一个圆内接四边形。2、测量测量出圆内接四边形的内角度数，看看有什么发现？【设计意图】让学生经历动手画图的过程，体会圆内接四边形的内角性质与圆周角定理的关系，并通过测量或比较对相关结论进行猜测。3、猜想：圆内接四边形的对角互补。4、几何画板验证猜想5、证明猜想学生所画的圆内接四边形与圆心的位置会有不同，教师可以在班级中找出典型的图形进行展示，并启发学生思考：各种位置有何不同？如何将其进行分类？根据圆心与四边形的位置关系可以分成下面三种情况来进行证明：（1）圆心在四边形内部；（2）圆心在四边形外部；（3）圆心在四边形的一条边上。　　思路1：在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢?OCDAB　　BOD=360BOD,11,,22+=360+=180A+B+C+D=360B+D=180.ACAC证明：设，又，　　思路2：在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?3OCDABOA=OD=OB=OC,,2()360180+=DAB=DCBDAB+DCB180360ABC+ADC180OADODAOABOBAOBCOCBOCDODC证明：又，，四边形内角和为思路3:在一般的圆内接四边形中，连接对角线，能得到什么结果呢?OCDABDAC=DBCABD=ACDDAB+DCB=DAC+BAC+BCA+ACDABCBAC+ABC+ACD=180DAB+DCB=180证明：同弧所对的圆周角相等，在三角形中，性质1：圆内接四边形的对角互补。6、问题：圆内接平行四边形是什么图形？【设计意图】加深对定理的理解，平行四边形的对角相等，邻角互补，而圆的内接四边形又有对角互补，这两个图形性质之间的区别和理解是一个难点，通过学生讨论，得出矩形，再将其证明，这是性质1的直接应用，同时也是对性质1的巩固。环节二探索性质2问题：如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？4OCBADOCDABE解：∠A=∠DCE，理由如下：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）∵∠BCD+∠DCE=180°∴∠A=∠DCE性质2：圆内接四边形的外角等于与它相邻内角的对角（简称为内对角）。练习：分别指出图示中所有的外角和它的内对角。【设计意图】内对角的辨认是学生的一个难点，给出一个图让学生找一找所有的外角和它的内对角，加强学生对性质2的理解，突破了难点。（四）性质应用　例1：如图，在⊙O中，∠BOD=80°求∠A和∠C的度数。OCDAB【设计意图】这是对性质1的直接应用，考查学生对所学知识的理解。例2：如图所示，已知圆心角∠AOB=100°,求∠ACD的度数。【设计意图】教师估计有些学生可能会将四边形AOBC误认为是圆内接四边形，此题需要做辅助线构造出圆的内接四边形，所以例2可以加深学生对圆内接四边形概念和性质2的理解。练习：已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。OCDABEF5　　求证：CE∥DF。　　（分析与证明学生自主完成）【设计意图】连接AB这是一种常见的引辅助线的方法。对于这道习题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决。这是对性质1和2的综合运用，增强学生的综合解决问题的能力。（五）小结1、本节课学习了哪些知识？2、本节课学习了哪些数学思想方法？3、这些数学思想方法体现在什么地方？4、以前的学习中有没有使用过类似的思想方法呢？5、以后你在研究一个新的几何图形时会从这节课得到哪些经验和启发？　　知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质。思想方法：研究图形问题时先通过测量得出猜想再通过理论证明得出性质，其中还使用类比、分类讨论、转化的思想、“特殊——一般”研究问题的方法。【设计意图】通过小结帮助学生梳理本节课所学习的知识，建立自己的知识体系；让学生举例说明所学数学思想方法可以增进他们对数学思想方法的理解，体会新旧知识的联系。（六）作业：教材课后习题课后思考：已知点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状？说明理由。　　分析：要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变。　　　　提示：分两种情况　　（1）当点D在⊙O外时，证明△CDE∽△CAD’即可。　　（2）当点D在⊙O内时，利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可。【设计意图】本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法，设置此题的目的是给学有余力的同学提升的空间。6（七）数学史介绍我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，他认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了较为精确的圆周率。