空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何测试题一、选择题1．空间的一个基底，，abc所确定平面的个数为（Ｃ）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个以上2．已知(121)A，，关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则BC（Ｂ）Ａ．(042)，，Ｂ．(042)，，Ｃ．(040)，，Ｄ．(202)，，3．已知向量111222()()xyzxyz，，，，，ab，若ab，设abR，则ab与x轴夹角的余弦值为（Ｄ）Ａ．12xxRＢ．21xxRＣ．12xxRＤ．12()xxR4．若向量MAMBMC，，的起点与终点MABC，，，互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则能使MAMBMC，，成为空间一组基底的关系是（Ｃ）Ａ．111333OMOAOBOCＢ．MAMBMCＣ．1233OMOAOBOCＤ．2MAMBMC5．正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E是11AB的中点，则E是平面11ABCD的距离是（Ｂ）Ａ．32Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．336．一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（Ａ）Ａ．2aＢ．3aＣ．22aＤ．23a7．若向量a与b的夹角为60°，4b，(2)(3)72abab，则a（Ｃ）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．128．设P是60°的二面角l内一点，PA平面，PB平面，AB，为垂足，42PAPB，，则AB的长为（Ｄ）Ａ．42Ｂ．23Ｃ．25Ｄ．279．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，2PDADPDAD，，二面角PADC为60°，则P到AB的距离为（Ｄ）Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．710已知()()(00)xyzabcxyzabc，，，，，，pq，若有等式2222222()()()xyzabcaxbycz成立，则，pq之间的关系是（Ａ）Ａ．平行Ｂ．垂直Ｃ．相交Ｄ．以上都可能答案：Ａ11．已知平面与所成二面角为80°，P为，外一定点，过点P一条直线与，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（Ｄ）Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．4条答案：Ｄ12．如图1，梯形ABCD中，ABCD∥，且AB平面，224ABBCCD，点P为内一动点，且APBDPC，则P点的轨迹为（Ｂ）Ａ．直线Ｂ．圆Ｃ．椭圆Ｄ．双曲线答案：Ｂ二、填空题13．已知(11)(2)ttttt，，，，，ab，则ba的最小值是35514．在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，向量1BA与向量AC所成的角为120°．15．如图2，在正三棱柱111ABCABC中，已知1ABD，在棱1BB上，且1BD，若AD与平面11AACC所成的角为，则sin64．16．已知ml，是异面直线，那么：①必存在平面过m且与l平行；②必存在平面过m且与l垂直；③必存在平面与ml，都垂直；④必存在平面与ml，距离都相等．其中正确命题的序号是①④三、解答题17．设空间两个不同的单位向量122(0)(0)xyxy，，，，，ab与向量(111)，，c的夹角都等于π4．解：（1）由π6cos42acac，且11ac·xy，1162∴xy．又22111xya，222111111113()2122xyxyxyxy∴．1114xy∴．（4）同理可得22226124xyxy，，11xy，∴是方程261024xx的两根，同理22xy，也是．又∵ab，1221，∴xyxy．cos，·∴·abababab1212112212xxyyxyxy，60ab，∴°．18．如图3，已知直四棱柱1111ABCDABCD中，12AA，底面ABCD是直角梯形，ADC是直角，421ABCDABADDC，，，∥，求异面直线1BC与DC所成角的大小．建解：以D为原点，1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴立空间直角坐标系Dxyz，则1(012)(240)(010)CBA，，，，，，，，．1(232)BC，，∴，(010)CD，，．设1BC与CD所成角为，则11317cos17BCCDBCCD·．317arccos17∴．∴异面直线1BC与DC所成角的大小为317arccos17．19．如图4，在长方体1111ABCDABCD中，11ADAA，2AB，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角1DECD的大小为π4．分别解：设AEx，以D为原点，直线1DADCDD，，所在直线为xyz，，轴建立空间直角坐标系，则11(101)(001)(10)(100)(020)ADExAC，，，，，，，，，，，，，，．11(120)(021)(001)CExDCDD，，，，，，，，∴．设平面1DEC的法向量为()abc，，n，由1020(2)00nn，，，··DCbcabxCE令1b，22cax，∴．(212)x，，∴n．依题意121π222cos422(2)5DDDDxnn·．23x∴（23x不合题意，舍去）．23AE∴．20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面1AECF所截而得到的，其中14231ABBCCCBE，，，．（1）求BF；（2）求点C到平面1AECF的距离．解：（1）以D为原点，DAFDCDF，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，1(000)(240)(200)(040)(241)(043)DBACEC，，，，，，，，，，，，，，，，，，设(00)Fz，，．由1AFEC，得(20)(202)z，，，，，2z∴．(002)(242)FBF，，，，，∴．26BF∴．（2）设1n为平面1AECF的法向量，1(1)xy，，n，由1100AEAF，，··nn得410220yx，．114xy，．∴又1(003)CC，，，设1CC与1n的夹角为，则111433cos33CCCC·nn．C∴到平面1AECF的距离1433cos11dCC．21．如图6，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点OD，分别是ACPC，的中点，OP底面ABC．（1）求证：OD∥平面PAB；（2）当12k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC△的重心？解：（1）证明：OP∵平面ABCOAOCABBC，，，OAOBOAOPOBOP，，∴．以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．设ABa，则222000000222AaBaCa，，，，，，，，．设OPh，则(00)Ph，，．D∵为PC的中点，21042ODah，，∴．202PAah，，，12ODPA∴．ODPA∴∥，OD∴∥平面PAB．（2）12k，即2PAa，72ha∴，27022PAaa，，∴可求得平面PBC的法向量1117，，n．210cos30PAPAPA，·∴nnn．设PA与平面PBC所成的角为，则210sincos30PA，n．PA∴与平面PBC所成的角为210arcsin30．（3）PBC△的重心221663Gaah，，，221663OGaah，，∴，OG∵平面PBC，OGPB∴．又202PBah，，，2211063OGPBah∴·．22ha∴．22PAOAha∴，即1k．反之，当1k时，三棱锥OPBC为正三棱锥．O∴在平面PBC内的射影为PBC△的重心．22．如图7，已知向量OAOBOC，，abc，可构成空间向量的一个基底，若123()aaa，，，a新123123()()bbbccc，，，，，bc，在向量已有的运算法则的基础上，结定义一种运算233231131221()abababababab，，ab，显然ab的果仍为一向量，记作p．（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；（2）求证：以OAOB，为边的平行四边形OADB的面积等于ab；（3）将四边形OADB按向量OCc平移，得到一个平行六面体111OADBCADB，试判断平行六面体的体积V与()·abc的大小．解：（1）233213113212213()()()0ababaababaababapa·，pa∴，同理pb．p∴是平面OAB的法向量．（2）设平行四边形OADB的面积为S，OA与OB的夹角为，则sinSOAOB21·ababab222()ababab·．∴结论成立．（3）设C点到平面OAB的距离为h，OC与平面OAB所成的角为，则VShsinabc，又()cossin，·abcabcabcabc，∴V()abc·．