现代控制理论-4-3-线性定常系统的结构分解

1caetcy建模建模分析分析设计设计状态空间表达式状态反馈状态观测器最优控制可控性可观性稳定性求解建立转换现代控制理论提纲线性连续系统线性离散系统返回caetcy第四章第四章线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换§1状态空间表达式的线性变换§2非奇异线性变换的不变特性§3线性定常系统的结构分解2caetcy系统状态变量可观不可观可观不可观不可控可控可控可观cox可控不可观ocx不可控可观ocx不可控不可观ocxcaetcy结构分解结构分解结构分解[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒ocococcoTTocTocTocTcoxxxxxxxxx⎩⎨⎧+=+=DuCxyBuAxx&特殊的线性变换特殊的线性变换依据可控可观性，将系统分解为四个子系统1，将系统分解成可控与不可控子系统；2，分别将两个子系统分解成可观与不可观子系统。分解步骤：分解步骤：occoococyu3caetcy一、系统按可控性的结构分解一、系统按可控性的结构分解⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&不可控系统[]npnn-×=BABAABBS12L可控性矩阵()()nrrank==ASdim设1，从S中选出r个线性无关的列向量；rsss,,,21L2，另外任选(n-r)个n维列向量；nrrsss,,,21L++3，构成非奇异变换矩阵()nn×[]nrrsssssLL1211+−=P9与前r个列向量线性无关；9尽可能简单。能求出逆吗？P-1变换返回caetcyxPx1−=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒−−ccccccxxCPyyPBuxxPAPxx11&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ccxxxr维可控状态子向量n-r维不可控状态子向量⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&⎩⎨⎧==+=⇒xCyyBxAxu&n-r行02212111⎥⎦⎤⎢⎣⎡==−AAAPAPAr行r列n-r列⎥⎦⎤⎢⎣⎡==01BPBBr行n-r行p列的特殊形式是由P-1的结构决定的。BA,[]211CCCPC==−r列n-r列q行P-1变换返回方阵4caetcy1C2Cy1y2y[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ccccccxxCCyyuBxxAAAxx21122121100&&⎪⎩⎪⎨⎧+==++=⇒cccccccxCxCyxAxuBxAxAx212211211&&21yy+=12A22Acx&cx∫11A1Bcx&cx∫u⎩⎨⎧==cccxCyxAx2222&不可控子系统⎩⎨⎧=++=ccccxCyuBxAxAx1111211&可控子系统前页返回caetcy例1：对以下系统进行可控性分解。[]111,100,341010121−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=cbA解：可控性矩阵()()3dim2===nrankAS系统不可控构造变换阵9与前2个列向量线性无关；9尽可能简单。123===prn⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−0311000101P[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−==8310004102bAAbbS5caetcy⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=100241240⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=∴010001103P1−=PAPAPbb=[][]121211−===−cccPc⎩⎨⎧−==cccyxxx2&不可控子系统[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=ccccyuxxxx21012241401&可控子系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−0311000101P123===prn0221211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=AAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001caetcyA=[12-1;010;1-43];b=[0;0;1];c=[11-1];[Ac,bc,cc]=ctrbf(A,b,c)MATLAB相关函数MATLAB相关函数可控性分解[]111,100,341010121−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=cbA6caetcy可控性分解的特点可控性分解的特点xPx1−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ccxxx⎩⎨⎧==cccxCyxAx2222&不可控子系统⎩⎨⎧=++=ccccxCyuBxAxAx1111211&可控子系统uBxxAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001221211cc⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−ccccccxxCPyyPBuxxPAPxx11,&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ccxxCC21返回caetcyuBxxAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001221211cc[]BAABB1n-rankrL=()()()()[]PBPAPPBPAPPB111n-rank−−=L⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−00011111111BABABnrankLL[]11111111BABAB−=nrankL原系统的可控性矩阵变换后系统的可控性矩阵可控子系统的可控性矩阵r维可控子系统可控特点特点11⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−ccccccxxCPyyPBuxxPAPxx11,&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ccxxCC21前页7caetcyuBxxAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001221211cc原系统的传递函数矩阵变换后系统的传递函数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−ccccccxxCPyyPBuxxPAPxx11,&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ccxxCC21()()BAICG1−−=ss()()()PBPAPICP111−−−−=s[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅=−001122121121BAAAICCs[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−⋅=−001122121121BAIAAICCss特点特点22caetcyuBxxAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001221211cc原系统的传递函数矩阵变换后系统的传递函数矩阵特点特点22⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−ccccccxxCPyyPBuxxPAPxx11,&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ccxxCC21()()BAICG1−−=ss()()()PBPAPICP111−−−−=s[]()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−−−⋅=−−−−00112212211111121BAIAIAIAICCssss()11111BAIC−−=s可控子系统的传递函数矩阵()s1G=8caetcy系统（u与y之间）的传递函数矩阵G(s)等于可控子系统的传递函数矩阵G1(s)；因而G(s)不能反映不可控子系统的特性。但是，不可控子系统仍影响到整个系统性能和响应；特点特点22所以，不可控子系统必须是稳定的。caetcy特点特点33P-1变换矩阵的选取不唯一，所以可控性分解不唯一。（形式相同，系数不同）0221211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=AAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01BB[]21CCC=可控性分解一：~0~~~221211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=AAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0~~1BB[]21~~~CCC=可控性分解二：[]BAABB1n-rankrL=[]11111111BABAB−=nrankL[]111111~~~~~11BABAB−=nrankLrrankrank==∴1111~AA9caetcy特点特点44⎩⎨⎧==cccxCyxAx2222&⎩⎨⎧=++=ccccxCyuBxAxAx1111211&0221211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=AAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01BB[]21CCC=()AI−sdet可控子系统特征值：rλλ,,1L不可控子系统特征值：nrλλ,,1L+()AI−=sdet可控因子、可控振型不可控因子、不可控振型()()2211detdetAIAI−⋅−=ss可控性分解不唯一，但可控因子、不可控因子是唯一的。非奇异线性变换不改变系统特征值！caetcy特点特点55判断系统可控性的另一种判据：⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&⎩⎨⎧==+=⇒xCyyBxAxu&xPx1−=n-r行02212111⎥⎦⎤⎢⎣⎡==−AAAPAPAr行r列n-r列r＝n:系统可控没有不可控子系统！rn:系统不可控10caetcy二、系统按可观测性的结构分解二、系统按可观测性的结构分解()nlrank==AVdim设⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&不可观系统可观测性矩阵nnqn×−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1CACACVM1，从V中选出l个线性无关的行向量；lvvv,,,21L2，另外任选(n-l)个n维行向量；nlvv,,1L+3，构成非奇异变换矩阵()nn×9与前l个行向量线性无关；9尽可能简单。P-1变换caetcy⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+nllvvvvMM11TxTxˆ1−=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒−−ooooooxxCTyyTBuxxTATxx11ˆ&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ooxxxˆl维可观状态子向量n-l维不可观状态子向量⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&⎩⎨⎧==+=⇒xCyyBxAxˆˆˆˆˆˆˆu&P-1变换可控型变换阵可控型变换阵11caetcyˆˆ0ˆˆ2221111⎥⎦⎤⎢⎣⎡==−AAATATA⎥⎦⎤⎢⎣⎡==21ˆˆˆBBTBB[]0ˆˆ11CCTC==−p列n-l行l行n-l行l行l列n-l列q行l列n-l列[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ooooooxxCyyuBBxxAAAxx0ˆˆˆˆˆˆ0ˆ121222111&&⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=⇒ooooooxCyuBxAxAxuBxAx122221111ˆˆˆˆˆˆ&&的特殊形式是由T-1的结构决定的。BAˆ,ˆ返回方阵caetcy⎩⎨⎧=++=0yuBxAxAx222221ˆˆˆooo&不可观子系统⎩⎨⎧==+=yxCyuBxAxooo11111ˆˆˆ&可观子系统yy=121ˆAox&ox∫2ˆB22ˆA11ˆA1ˆBox&ox∫u1ˆC[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ooooooxxCyyuBBxxAAAxx0ˆˆˆˆˆˆ0ˆ121222111&&⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=⇒ooooooxCyuBxAxAxuBxAx122221111ˆˆˆˆˆˆ&&12caetcy例1：对以下系统进行可观性分解。[]111,100,341010121−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=cbA解：可观性矩阵()()3dim2===nrankAV系统不可观构造变换阵9与前2个行向量线性无关；9尽可能简单。123===qln⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2cAcAcV⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=100232111T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=474232111caetcy⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=∴−1000121131T1ˆ−=TATA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121ˆˆ21bb[][]0010ˆ1==c[]⎩⎨⎧=++−=02352yuoooxxx&[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=yyuoooxxx012132101&⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=100232111T123===qln⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=235032010ˆˆ0ˆ222111AAATBb=ˆ1ˆ−=cTc不可观子系统可观子系统13caetcyA=[12-1;010;1-43];b=[0;0;1];c=[11-1];[Ac,bc,cc]=obsvf(A,b,c)MATLAB相关函数MATLAB相关函数可观性分解[]111,100,341010121−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=cbAcaetcy可观性分解的特点可观性分解的特点xTxˆ1−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ooxxxˆuBBxxAAA⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21222111ˆˆˆˆ0ˆoo⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−ooooooxxCTyyTBuxx