拉普拉斯变换性质及反演

数学物理方法数学物理方法第六章拉普拉斯变换1、符号法2、拉普拉斯变换3、拉普拉斯变换的反演4、应用例数学物理方法（2）导数定理['()]()(0)Lftpfpf证明：取0Rep，有lim()0ptteft，于是0['()](0)()()(0)ptLftfpftedtpfpf0000['()]'()[()]()()ptptptptLftftedtedfeftftde()12(2)(1)[()]()(0)'(0)(0)(0)nnnnnnLftpfppfpfpff6.2拉普拉斯变换的性质数学物理方法例6.2.3已知2[cos]1pLtp，求[sin]Lt。解：由于sincosdttdt，故2[sin][cos0]1pLtpp22[1]111pppp数学物理方法像函数的导数定理()[()]dfpLtftdp及(1)()[()]nnnndfpLtftdp例6.2.4已知1[1]Lp，求23,,ttt和nt的拉普拉斯变换。解：令()1ft由于1()fpp所以211[]()()ddLtfpdpdppp可以依次类推1![]nnnLtp。数学物理方法（3）积分定理01[()][()]tLdLtp证明:考虑函数0()()tftd，对()ft应用导数定理['()][()](0)LftpLftf，其中00(0)()fd所以1[()]['()]LftLftp即01[()][()]tLdLtp数学物理方法例6.2.5已知1[1]Lp，求23,,ttt和nt的拉普拉斯变换。解：(1)由于01ttd，所以211[][1]LtLpp（2）因为202ttd，所以2231111[][]2tLLtpppp，故232[]Ltp（3）……（4）可以依次类推，1![]nnnLtp数学物理方法（4）相似性定理1[()]()pLfatfaa（5）位移定理[()]()tLeftfp请大家仿照傅里叶积分变换验证。例6.2.6计算cosatet，sinatet，atecht，atesht的拉普拉斯变换函数。解：略。数学物理方法（6）延迟定理00[()]()ptLfttefp证明：000[()]()ptLfttfttedt注意到，原函数()ft应该理解为()()ftHt，因而上式中的0()ftt应理解为00()()fttHtt，因而积分下限可改为0t00000()0000[()]()()()()pttttptpptLfttfttedttefedefp数学物理方法例6.2.7已知[()]()Lftfp,求[()]Lfatb。解：首先由延迟定理得到[()]()bpLftbefp再利用相似性定理得到：1[()][((/))]()bpapLfatbLfatbaefaa也可以首先用相似性得到1[()]()pLfatfaa再利用延迟定理得到：1[()][((/))]()bpapLfatbLfatbaefaa数学物理方法（7）卷积定理若11()[()]fpLft，22()[()]fpLft则1212[()*()]()()Lftftfpfp，其中12120()*()()()tftftfftd称为1()ft和2()ft的卷积。在傅里叶变换中我们定义了两个函数的卷积：1212()*()()()dftftfft因为在拉氏变换中，恒有0t时，()0ft，故1212001212()(()*()()()d()())ddttfftftftfftfft12120()*()()()dtftftfft数学物理方法例6.2.8已知像函数21(1)pp，求原函数。解：21(1)pp可看成21p和11p的乘积，由于121[]Ltp，11[]1tLep，由卷积定理有12011[]()11tttLedtepp数学物理方法6.3拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换主要用来求解线性微分(积或分)方程，经过变换，原函数遵从的微分（或积分）方程变成了像函数的代数方程，代数方程容易求解，但是求出代数方程后还需要回到原函数。有像函数求原函数的过程称为拉普拉斯变换的反演。（一）有理分式反演法如果像函数是有理分式，则只要把它分解成分项分式，然后利用基本公式即可得到相应的原函数。数学物理方法例6.3.1求1(2)(5)pp的原函数。解：1()(2)(5)11113532fppppp故有5211()33ttftee数学物理方法例6.3.2求21(2)(3)pp的原函数。解：221()(2)(3)1112(2)3fpppppp故有223()tttftetee数学物理方法例6.3.3求324293681pppp的原函数。解：324222936()811111132323939pppfppppppp故有33111()cos3sin3223ttfteett数学物理方法（二）查表法许多常见的函数的拉氏变换都制成了表格，可以直接查表。有些函数虽不能直接查表，但可以利用前面的延迟定理，位移定理等在配合查表解决其反演问题。例6.3.4求pep的原函数。解：查表可得的1p的原函数为1t，利用延迟定理有11[]()peLpt数学物理方法例6.3.5求22()p和22()pp的原函数。解：先将两函数中的p位移为p，查表得22[sin]Ltp，22[cos]pLtp应用位移定理有122[]sin()tLetp122[]cos()tpLetp数学物理方法例6.3.6求()apeppb的原函数。解：由于1p的原函数为()Ht，应用延迟定理有apep的原函数为()Hta，又由位移定理有1pb的原函数为bte。应用卷积定理，有1()0()[]()()1[1]()aptbtbtaeLHaedppbeHtab数学物理方法例6.3.7求积分方程0()()sin()tytatytd的解。解：设()[()]ypLyt，对方程两边进行拉氏变换，得22()()1aypyppp解得2411()()ypapp从而31()()6ytatt数学物理方法（三）黎曼－梅林反演公式*在上两种方法都不能求出原函数时，原则上总是可以采用1()()2iptiftfpedpi来求原函数。这正是著名的黎曼－梅林反演公式。其中是大于收敛横标的任意正数，积分路径是平行于虚轴的一条直线。由于像函数()fp是p的解析函数，故可采用留数定理求解。数学物理方法作业P1271.(1),(2),(3),(4)12.(1),(2),(3),(4)