概率论习题册答案中国地质大学

概率论习题册答案第一章随机事件及其概率§1.1样本空间与随机事件一、计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2)10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3)一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；(4)有CBA,,三只盒子，cba,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；(5)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解1（1）}18,,5,4,3{；（2）}10,,5,4,3{；（3）},,,,,,{RWBWBRBRWBWR；其中BWR,,分别表示红色，白色和蓝色；（4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}AaBbCcAaBcCbAbBaCcAbBcCaAcBbCaAcBaCb其中Aa表示a求放在盒子A中，可类推；（5）}1,0,0,0|),,{(zyxzyxzyx其中zyx,,分别表示三段之长。2.设CBA,,为三事件，用CBA,,运算关系表示下列事件：（1）A发生,B和C不发生；（2）A与B都发生,而C不发生；（3）CBA,,均发生；（4）CBA,,至少一个不发生；（5）CBA,,都不发生；（6）CBA,,最多一个发生；（7）CBA,,中不多于二个发生；（8）CBA,,中至少二个发生。解（1）CBA；（2）CAB；（3）ABC；（4）ABC；（5）CBA；（6）CBACBACBACBA；（7）ABC；（8）BCACAB3．下面各式说明什么包含关系？(1)AAB；(2)ABA；(3)ACBA解（1）BA；（2）BA；（3）CBA4.设}7,6,5{},5,4,3{},4,3,2{A},10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{CB具体写出下列各事件：(1)BA，(2)BA，(3)BA，(4)BCA，(5))(CBA.解（1）{5}；(2){1,3,4,5,6,7,8,9,10}；(3){2,3,4,5}；(4){1,5,6,7,8,9,10}；(5){1,2,5,6,7,8,9,10}。5．如下图，令iA表示“第i个开关闭合”,6,5,4,3,2,1i，试用621,,,AAA表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。系统Ⅰ系统Ⅱ152312341L41R2L62R解(1)4321AAAA(2)526436432151AAAAAAAAAAAA。§1.2事件的频率与概率一．填空题1．设事件BA,的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB的概率)(ABP0；2．设随机事件BA,及其和事件BA的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B表示B对立事件，那么积事件BA的概率)(BAP0.3；3.已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,(1)当A,B互不相容时,P(A+B)==0.7;P(AB)=0.(2)当B+A时,P(A+B)==0.4;P(AB)=0.3；4.若)(,)(,)(ABPBPAP,)(BAP1g-;)(BAPbg-;)(BAP=1。二、选择题1.若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C）（A）A和B不相容；（B）AB是不可能事件；（C）AB未必是不可能事件；（D）P(A)=0或P(B)=0.2.对于任意二事件A和B有)(BAP(C)(A))()(BPAP;（B）)()()(ABPBPAP;（C）)()(ABPAP;（D）)()()()(BAPBPBPAP.3.设A,B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）(A)BA与不相容;(B)BA与相容;(C)P(AB)=P(A)P(B);(D)P(A-B)=P(A).4.当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）()()()()1;()()()()1;()()();()()().APCPAPBBPCPAPBCPCPABDPCPAB三、计算下列各题1.已知161)()(,0)(,41)()()(BCPACPABPCPBPAP，求事件CBA,,全不发生的概率。8381431)]()()()()()()([1)(1)()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPCBAPCBAP解2某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。解报纸分别表示读甲，乙，丙，，设CBA35.002.004.005.008.014.016.02.0)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP3.某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业.某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则P(A)=0.8,P(B)=0.65,P(A+B)=0.75P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为70%。4.向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1.只要炸中一个，另两个也要爆炸.求军火库发生爆炸的概率。解设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、证明题试证）（）（）（）（ABPBPAPBABAP2.证)()()()()ABPBAPBABAPBAPBAPBABAP（）（)(2)()()()()()(ABPBPAPABPBPABPAP。§1.3古典概型与几何概型一、填空题1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为121；2．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概率是nNmnMnmMCCC/；3．某地铁车站,每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为0.6；4．在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为0.68；5.将C、C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为1/1260；6.在区间0,1中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34。二、选择题1.张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是（B）(A)knCm;(B)knkmnCC1;(C)knkmnmCCC11;(D)krknrmCC1.2.掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B）1113;();();().3244ABCD（）三、计算下列各题1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解（1）;4528210281CCp451)2(210222CCp.454445111(4);4516)3(2421012183ppCCCp2.把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。解.421!10!5!6p所求概率3.某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？解;7171)1(881p;7676)2(8882p83811(3)1177p。4．从0~9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p；（2）取的至少有3个电话号码相同的概率q。解432.010)1(42924110ACCp；13111049104(2)0.03710CCACq5.某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p。解,5100个次品个产品中有可以认为一批5051491009559551499559550100,CCCCCCCpC基本事件总数有利的基本事件数所求概率。6.随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p（2）3名优秀生在同一个班的概率q。解基本事件总数有！！！！55515种(1)每个班各分一名优秀生有3!种,对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为！！！！44412种,所以共有！！！！！444123种分法.所以p=912555515444123！！！！！！！！！.(2)3名优秀生分配到同一个班,分法有3种,对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中分法总数为！！！！55212,共有！！！！552123种,所以q=91655515552123！！！！！！！！。7.随机的向半圆220xaxy（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X轴的夹角小于4的概率。解这是几何概型,样本空间占有面积为221a,所求事件占有面积为222141aa所以,所求概率121212141222aaap。8.设点),(qp随机地落在平面区域D:|p|≤1,|q|≤1上,试求一元二次方程02qpxx两个根(1)都是实数的概率,(2)都是正数的概率。.24134)141(,41,04)1(11222dpppqqp率方程两根都是实数的概即方程两根都是实数解.481441,0,0,04)2(0122dppqpqp率方程两根都是正数的概方程两根都是正数§1.4条件概率三、计算下列各题1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。解“任取一件是一等品”，“任取一件是合格品”令BA72.075.0)04.01()|()()(ABPAPABP。2.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。解岁”“该动物活到岁”，“该动物活到设2520BA5.08.04.0)()()|(APABPABP。3.在100个次品中有10个次品，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。解iA=“第i次取到正品”i=1，2，3，4.00069.0979098899910010)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP4.比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。解设B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜”936.06.04.06.04.06.06.0)()()()()()()()|(2233321543214321321212121APAPAAAAAPAAAAPAAAPAAPABAPAABP四、证明题1.若0)(,0)(BPAP，且)()|(APBAP证明)()|(BPABP。证)()()()()()(),()|(BPAPABPAPBPABPAPBAP则因