数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析（p11页）4试证：对任给初值x0,求开方值(0)aa的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......kakkxxxk恒成立下列关系式：2112(1)(),0,1,2,....(2),1,2,......kkkxkxaxakxak证明：（1）22112222kkkkkkkkxaaxaxaxaxaxxx（2）取初值00x，显然有0kx，对任意0k，aaxaxxaxxkkkkk2121216证明：若kx有n位有效数字，则nkx110218，而kkkkkxxxxx288821821nnkkxx2122110215.22104185.281kx必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x的近似数*x可表示为mnaaax10......021*，如果*x具有l位有效数字，则其相对误差限为11**1021laxxx，其中1a为*x中第一个非零数）则7.21x，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111xxe71.22x，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122xxe32.718x，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333xex②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21x，0183.01ex其相对误差限为00678.07.20183.011xex同理对于71.22x，有003063.071.20083.022xex对于718.23x，有00012.0718.20003.033xex备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解:......142857.3722，.......1415929.311325521021722，具有3位有效数字61021113255，具有7位有效数字9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令1x,2x,3x所对应的真实值分别为*1x,*2x,*3x，则①∣1x-*1x∣≤21l110=21210∣1x-*1x∣/∣1x∣＜21210/2.72＜0.00184②∣2x-*2x∣≤21l110=21510∣2x-*2x∣/∣2x∣＜21510/2.71828＜0.00000184③∣3x-*3x∣＜21l110=21410∣3x-*3x∣/∣3x∣＜21410/0.0718＜0.00069712.解：⑴x211－xx11=)1)(21(22xxx⑵1-cosx=xxcos1sin2=22sin2x⑶1xe≈1+x+!22x+…+!nxn-1=x+!22x+…+!nxn13.解：⑴xx1-xx1=xxx1x1x/2⑵dttxx1211=)1arctan(x-xarctan设)1arctan(x=a，xarctan=b,则)tan(ba=babatantan1tantan=)1(11xx)1arctan(x-xarctan=)1(11arctanxx⑶)1ln(2xx=11ln2xx=)1ln(1ln2xx=-)1ln(2xx习题一（54页）5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当)(xf为次数≤n的多项式时，由于)(1xfn=0，于是有)(xRn=)(xf－)(xPn=0,即)(xPn=)(xf，表明其n次插值多项式)(xPn就是它自身。9.证明：由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。于是对于)(xf=1，有)(2xP=)(xf即，)(0xl)(0xf+)(1xl)(1xf+)(2xl)(2xf=)(xf则，)(0xl+)(1xl+)(2xl=111.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为)(xf－)(xPn=)!1)()1(nfn（nkkxx0)(误差主要来源于两部分)!1)()1(nfn（和nkkxx0)(。对于同一函数讨论其误差，主要与nkkxx0)(有关。在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，0x与0.472更靠近，所以此题应选0x,1x,2x为节点来构造插值多项式。1202201010210121022120()()()()(1)()()()()()()()0.4955529()()xxxxxxxxpxyyxxxxxxxxxxxxyxxxx15.证明：由拉格朗日插值余项公式有︱)(xf－)(xp︱≤102)(!2)(kkxxf≤21︱))((10xxxx︱10maxxxx︱)(2xf︱由于201)(xx=201)(xxxx=))((201xxxx+21)(xx+20)(xx≥))((401xxxx︱)(xf－)(xp︱≤8)(201xx10maxxxx︱)(2xf︱20.证明：当n=1时，),(10xxF=0101)()(xxxFxF=C·0101)()(xxxfxf=C),(10xxf假设当n=k时，结论成立，则有),...,(0kxxF=C),...,,(10kxxxf；),...,(11kxxF=C),...,,(121kxxxf；那么，当n=k+1时，),...,,(110kxxxF=01011),...,(),...,(xxxxFxxFkkk=C01011),...,(),...,(xxxxfxxfkkk=C),...,,(110kxxxf证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理4（26页）可知：),...,,(10nxxxf=!)()(nfn,其中niixx0]max,[min当nk时，)()(xfn=)(nkx=0；当n=k时，)()(xfn=)(kkx=!k；),...,,(10nxxxf=时当时当knkn,1,013.解：由题意知，给定插值点为0x=0.32,0y=0.314567;1x=0.34,1y=0.333487;2x=0.36,2y=0.352274由线性插值公式知线性插值函数为)(1xP=0101yxxxx+1010yxxxx=314567.002.034.0x+333487.002.032.0x当x=0.3367时，3367.0sin≈)3367.0(1P≈0.0519036+0.2784616≈0.330365其截断误差为︱)(1xR︱≤22M︱))((10xxxx︱，其中2M=10maxxxx︱)(2xf︱)(xf=)sin(x，)(2xf=-)sin(x，2M=︱34.0sin︱≈0.333487于是︱)3367.0(1R︱≤21×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×510若用二次插值，则得)(2xP=0201021))(())((yxxxxxxxx+1210120))(())((yxxxxxxxx+2120210))(())((yxxxxxxxx3367.0sin≈)3367.0(2P≈0.330374其截断误差为︱)(2xR︱≤63M︱)))((210xxxxxx（︱其中3M=20maxxxx︱)(xf︱=20maxxxx︱xcos︱=32.0cos0.950于是︱)3367.0(2R︱≤61×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱0.204×61017解：差商表为———————————————————————————————ix)(xf一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商———————————————————————————————1-32033151564483391510557121061928715100由差商形式的牛顿插值公式，有)(xP=)(0xf＋))(,(010xxxxf＋))()(,,(10210xxxxxxxf＋))()()(,,,(2103210xxxxxxxxxxf=-3＋3)1(x＋6)2)(1(xx＋)3)(2)(1(xxx23题：解：由于0)1()1()0(1PPP，则设2)1()(xCxxP由1)12(2C,1)2(2得P，则21C所以2)1(21)(xxxP24.解：由于3)3(,2)2(,1)1(,0)0(PPPP可设)3)(2)(1()(xxxCxxxP由0)2(1P得0)32)(12(21)(1CP，有：21C所以)3)(2)(1(21)(xxxxxxP26．解：由泰勒公式有30320000'0)(!3)()(!2)())(()()(xxfxxxfxxxfxfxf设3020000'0)()(!2)())(()()(xxCxxxfxxxfxfxP其满足)()(00xfxPjj，其中2,1,0j由)()(11xfxP，得)()()()()(),(010200'20110xxxfxxxfxxxxfC代入(*)式既可得)(xP.33.解：由于2,0)(2CxS，故在1x处有)1(),1(),1('SSS连续，即：121cbcb解得：32cb34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。3,1,0,13210xxxx2,1,1210hhh211001hhh,312112hhh21111,3212224),(6'01000fxxfhd0)()(6),,(620202101kkjjjkkxxxfxxxfd2),,(63212xxxfd0),(632'323xxffhd于是得到关于3210,,,MMMM的方程组：02024213222121221123210MMMM(三对角方程)020241020717210211203312140314721023210MMMM（追赶法）124143210MMMM解方程求出3210,,,MMMM，代入)6()6(6)(6)()(121211331iiiiiiiiiiiiiiiiMhfhxxMhfhxxMhxxMhxxxS即得满足题目要求的三次样条函数2,11,00,141419474112123)(232323xxxxxxxxxxxxxS习题二2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义当1)(xf时，左=111010xdx右=1141143，左=右当xxf)(时，左=21210102xdxx右=211413143，左=右当2)(xxf时，左=313103102xdxx右=31141)31(432，左=右当3)(xxf