全等三角形辅助线之倍长中线法

全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法ADEDE=ADBEADCEDBAD=DEADC=EDBBD=CDADCEDB(SAS)ACBE延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论ADABC为的中线DCBAEADABC为的中线DCBAEADEAD=DECEBECEABEC延长至，使，当连接时，结论相似；　当连接、，则为平行四边形MABCDEMDEMD=DECEBDMCDEBMCE延长至，使，连接可证，举例：FEGFE=GEEGC()EFD延长至，使可证平行线夹中点FEDCBAG如图，在△ABC中，AD为BC边上的中DCBAEADEDE=ADBEADCEDBAD=DEADC=EDBBD=CDADCEDB(SAS)AB-BEAEAB+BEAEAD延长至使，连接在和中，，故即２８１４654321FABCDE如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．EDCBA如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．FEDCBA321MABCDEF如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．GFEDCBAM2134GFEDCBA1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．GFEDCBAEDCBAFEDCBAGFEDCBAFEDCBA6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．【参考答案】课前预习1.（1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；直角，HL（2）全等，三，边2.（1）证明：如图∵O是AB的中点∴AO=BO在△AOC和△BOD中AOBOAOCBODOCOD∴△AOC≌△BOD（SAS）（2）证明：如图∵O是AB的中点∴AO=BO∵AC∥BD∴∠A=∠B在△AOC和△BOD中ABAOBOAOCBOD∴△AOC≌△BOD（ASA）GFEDCBA典型题型1.解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD为BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中12BDCDEDAD∴△BDE≌△CDA（SAS）（3）证明：如图，∵△BDE≌△CDA∴BE=AC∵DE=AD∴AE=2AD在△ABE中，AB+BEAE∴AB+AC2AD（4）在△ABE中，ABBEAEAB+BE由（3）得AE=2AD，BE=AC∵AC=3，AB=5∴53AE5+3∴22AD8∴1AD42.证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中CDBDADCEDBADED∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB，∠2=∠E∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC3.证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF∴CF=2CD∵CD是△ABC的中线21EDCBA654321FABCDE21EBCDA∴BD=AD在△BDF和△ADC中BDADADCBDFDFDC∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠1=∠F∵CB是△AEC的中线∴BE=AB∵AC=AB∴BE=BF∵∠1=∠F∴BF∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC=AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE=∠CBF在△CBE和△CBF中CBCBCBECBFBEBF∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠2=∠3∴CE=2CDCB平分∠DCE4.证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM∵D是BC边的中点∴BD=CD在△ADC和△MDB中CDBDADCMDBADMD∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠1=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠3321MABCDEF∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF=∠EAF5.证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM∵点E是BC的中点∴BE=CE在△CFE和△BME中FEMECEFBEMCEBE∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD∥EF∴∠3=∠F，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD为△ABC的角平分线6.解：如图，延长AF交BC的延长线于点G∵AD∥BC∴∠3=∠G∵点F是CD的中点∴DF=CF在△ADF和△GCF中3GAFDGFCDFCF∴△ADF≌△GCF（AAS）∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠1=∠B∵AB⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B+∠G=90°321MABCDEFGG123FEDCBA∴∠2=∠G∴EG=AE=5∴CE=EGCG=52.7=2.37.证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°∴∠DCB+∠FEB=180°∴EF∥CD∴∠FEG=∠M∵点G为FD的中点∴FG=DG在△FGE和△DGM中1MFGEDGMFGDG∴△FGE≌△DGM（AAS）∴EF=MD，EG=MG∵△FEB是等腰直角三角形∴EF=EB∴BE=MD在正方形ABCD中，BC=CD∴BE+BC=MD+CD即EC=MC∴△ECM是等腰直角三角形∵EG=MG∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°∴∠2=∠3=45°∴EG=CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．思路分析：①画出草图，标注条件：M2134GFEDCBA②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（），证全等转移边：______=_______；④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB的取值范围．2.如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？【参考答案】1.3AB13①图略②中线AD倍长中线延长AD到点E，使DE=AD，连接CE③△ADC△EDBSASACEB④略2.AD∥BC，E为AB边的中点，平行夹中点；AG=BH，GE=HE；到线段两端点的距离相等，FH，AG+BF解：如图，延长GE交CB的延长线于点H∵AD∥BC∴∠GAE=∠HBE∵E为AB边的中点∴AE=BE在△AGE和△BHE中，AEGBEHAEBEGAEHBE∴△AGE≌△BHE（ASA）∴BH=AG，HE=GE∵GE⊥EF∴GF=HF∵BF=2，AG=1∴GF=HF=BF+BH=BF+AG=2+1=3GFEADBC三角形全等之倍长中线（作业）例题示范例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图所示：②考虑倍长AE，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．ABDCEFABDCEF？？GG？？FECDBA？？FECDBAABDCEF？？G在△DEF和△CEG中，EDECDEFCEGEFEG∴△DEF≌△CEG（SAS）∴DF=CG，∠DFE=∠G∵DF=AC∴CG=AC∴∠G=∠CAE∴∠DFE=∠CAE∵DF∥AB∴∠DFE=∠BAE∴∠BAE=∠CAE∴AE平分∠BAC巩固练习1.已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为DCBAFEDCBAFEDCBAGFEDCBA∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．思考小结1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△BDE和△CDA中BDCDBDECDADEDA∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中FEDBCA21ECDBA21ECDBACDBA2EBDECDABDCD∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD12AB．【参考答案】巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，