搜索
数论50题1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？【分析】75=3×25若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8先任给一个去掉8的，17925即满足要求1）若去掉8则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数2）若去掉2则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法所以有6个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18个。3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8□中的数字是14．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。5．一次考试中，某班同学有13考了优秀，12考了良好，17考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是42人，因此不及格的人数为（1-12-13-17）×42=1人6．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？（第14届迎春杯考题）【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）（0002，1002，2002，3002）…….(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数。7．是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？12345678910=36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。【分析】无论是加还是减，对奇偶性没有影响，如果全是加号的话，那么算出的结果是55是个奇数，因此某些加号变成减号后所得结果仍然是奇数，不可能是36，因此不可能使等式成立。8．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（2001年同方杯试题改编）【分析】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数×偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数×奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。因此无论我们怎么算都只能增写奇数，不可能写出2008这个偶数。9．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有几种不同的选法？【分析】3个数的和是偶数有2种可能1）三个都是偶数，从2，4，6，8里选3个有4种可能2）两个奇数一个偶数，从1，3，5，7，9里选2个有10种可能，从2，4，6，8里选一个有4种可能，根据乘法原理有40种选法综上所述，共有44种不同的选法。10．已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【分析】最小的合数是4，其平方为16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2那么其余2个的和是14只能一个是3一个是11因此这3个质数的乘积是2×3×11=6611．有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是1，而是三个不同的质数。那么，这样的三个质数是、、【分析】设这3个不同的质数分别是a，b，c根据题意abc=1994+a+b+c这3个质数不可能都很大，假如最小的是11的话，那么11*13*17=2431,太大了所以a，b，c中一定有一个是3，5，7中的若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1)试验一下发现b=5可以使c是整数，c=143，但143不是质数，b=7，11，13都不行那么我们不妨再让a=5，那么5bc=1999+b+cc=(1999+b)/(5b-1)b=7时算得c=59，是质数，符合要求因此a=5，b=7，c=59为满足条件的三个质数。12．利用约数个数公式1）分别求12，35和420的约数个数2）分别求4，6，和24的约数个数问题1：对于1）的结果，你是否发现了什么规律？问题2：对于2）该规律是否仍然成立？问题3：该规律成立的条件是什么，并证明你的结论【分析】1）d(12)=6d(35)=4d(420)=24规律：12×35=420d(12)×d(35)=d(420)2)d(4)=3d(6)=4d(24)=8,规律不再成立3）规律是若(a,b)=1，则d(a)×d(b)=d(ab)证明用约数个数公式即可13．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【分析】设该数为p1^a1×p2^a2×…pn^an那么它的平方就是p1^(2a1)×p2^(2a2)…×pn(2an)因此(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)=39由于39=3×13=1×39（1）所以2a1+1=3,2a2+1=13a1=1,a2=6故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14（2）或者：2a1+1=39a1=19,那么19+1=20个14．从1/21/41/61/81/101/12中去掉2个分数，可使得剩下4个分数之和为1，问去掉哪两个？（希望杯试题）【分析】单纯试的方法当然可以，但本题如果我们对数论知识理解透彻并应用上的话不需要任何计算就可以“看出”去掉的是1/8和1/10理由如下1）因为分母里8是独一无二的有3个质因子2的，所以必须去掉2）因为10是分母里独一无二的含有质因子5的，所以也必须去掉15．甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数。【分析】直接用公式[a,b]×(a,b)=ab，代入即得乙数=3016．已知甲乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商是几？【分析】设甲数为a，乙数为b，并设a=（a,b）×a’，b=(a,b)×b’,则[a,b]=(a,b)a’b’根据题意得(a,b)a’b’=（a,b）×a’+(a,b)×b’+（a,b）两边同时约掉(a,b)得到a’b’=a’+b’+1所以a’b’-a’-b’+1=2(a’-1)(b’-1)=2得a’=3b’=2最小公倍数除以最大公约数得到的是a’b’=3×2=617．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）【分析】这样的数有3×4×58×9×1015×16×1724×25×26……容易发现它们的最大公约数是3×4×5=60下面给出证明，首先任意连续3个正整数中必然有一个是3的倍数，所以美妙数一定能被3整除，其次，任何一个完全平方数要么是4的倍数要么被8除余1，所以美妙数一定也能被4整除最后，任何一个完全平方数的末位数字都是0，1，4，5，6，9，无论是哪一个，它们自己加上前后各一个数中必然有一个是0或5，因此美妙数一定也是5的倍数综上所述，所有美妙数的最大公约数是6018．10个非零自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？（2002我爱数学少年夏令营）【分析】设这10个非零自然数分别是a1,a2,a3,….a10,它们的最大公约数是a那么a1，a2，…,a10都是a的倍数因此1001是a的倍数，1001=7*11*13a是1001的约数，显然a不能取1001，若a取143，则a1+a2+…+a10至少是1430也不可能因此a最大是7*13=9119．一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？【分析】设这个数是2a那么它最大的两个约数显然是2a和a2a+a=120解得a=40所以2a=2×40＝80所以这个数是80。20．已知一个苹果重415千克，一个梨重524千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？【分析】本题实质上就是一个求分数得最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数和badc，它们的最小公倍数是d)(b,c]a,[，这里[a,c]代表a,b的最小公倍数，(b,d)代表b,d的最大公约数。解法一：根据上述分析本题实质上是求415和524的最小公倍数由上面给出的结论知道这个数是），（，2415]54[=320所以苹果和梨的总重量都是320千克因此苹果个数是320÷415=25个梨的个数是320÷524=32个。解法二：设苹果有x个，梨有y个所以154x=245y，推出x:y=25:32故x最小是25，y最小是32。154x=154×25＝320所以总重量是320千克。21．一个正整数加上32和132后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【分析】设该正整数为a，根据题意得a+32=m2a+132=n2两式相减得(n+m)(n-m)=100,注意到n+m和n-m的奇偶性相同所以n+m=50,n-m=2解得n=26m=24因此a=26×26-132=544所以这个正整数是54422．一间屋子里有编号为1-100的100盏灯，全都是亮的，有编号为1-100的100名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学把所有的灯都拉了一遍，第二名同学拉了所有号码是2的倍数的灯，第3名同学拉了所有号码是3的倍数的灯…第100名同学拉了所有号码是100的倍数的灯，问最后有几盏灯是灭的？【分析】要考虑灯是亮的还是灭的，关键看灯被拉了奇数次还是偶数次，因为原来都亮，要我们求灭的灯的个数，那么也就是求那些被拉了奇数次的灯有几个注意拉灯的规则我们不难发现，每盏灯被拉的次数恰好是它的约数的个数又因为约数个数是奇数等价于该数是完全平方数，因为1-100中的完全平方数有10个因此最后有10盏灯是灭的。23．一间屋子里有100盏灯，全都是亮的，有编号为1-100的100名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学先拉1号灯，然后隔一个拉一个；第2名同学先拉1号灯，然后隔两个拉一个；第3名同学先拉1号灯，然后隔3个拉一个；…第100名同学先拉1号灯，然后隔100个拉一个，问最后有几盏灯是灭的？【分析】我们要求的仍然是被拉了奇数次的灯有几个注意到规则已经产生变化，方便起见我们先举一个简单的例子个大家看1号同学拉的都是被2除余1的2号同学拉的都是被3除余1的…100号同学拉的是被100除余1的我们来看7号灯，7被谁除余1呢，那