圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。一、定值问题例1.椭圆xaybab222210()上一点P，两个焦点)0,()0,(21cFcF，，12FPF的内切圆记为M，求证：点P到M的切线长为定值。证明：设⊙M与△PF1F2的切点为A、B、C，如图1，因⊙M是△PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|；∵|F1C|＋|F2C|=2c，∴|F1A|＋|F2B|=2c，由椭圆第一定义知|PF1|＋|PF2|=2a，∴|PA|＋|F1A|＋|PB|＋|F2B|=2a，∴2|PA|=2a－2c即|PA|=a－c为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础,而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。二、动点轨迹问题例2、已知椭圆xaybab222210()上一动点P，两个焦点)0,()0,(21cFcF，，12FPF的内切圆记为M，试求圆心M的轨迹方程。解析：如图1，设∠PF1F2=α、∠PF2F1=β，M(x，y)则在△PF1F2中由正弦定理及椭圆的定义有||sin||sin||sin[()]PFPFFF1212180°，由等比定理有即1212||||||22sinsinsin()sinsinsin()PFPFFFac，又由合分比定理知tantan22acac。由斜率公式知：12,(0),MFMFyykkyxcxc由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有12tantan,(0).22MFMFyyackkyxcxcac整理得(a－c)x2＋(a＋c)y2=(a－c)c2(y≠0)证毕．点评：由上获得的方程不难看出，△PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PFF12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到一个重要的结论：已知椭圆xaybab222210()上一点P及两焦点FF12、，若∠PFF12，∠PFF21，则椭圆的离心率为sin()sinsin。三、方程问题例3.如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，FF12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠FPF123，且△PFF12的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。解析：设双曲线的方程为xaybab2222100()，，FcFc1200()()，，，，Pxy()00，。在△PF1F2中，由余弦定理，得||||||||||cosFFPFPFPFPF12212221223··(||||)||||PFPFPFPF12212·，即442212caPFPF||||·，又因为SPFF△1223，所以1232312||||sinPFPF·，所以||||PFPF128·，所以44822ca即b22，又因为eca2，所以a223。故所求双曲线方程为322122xy。点评：如果在△PFF12中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。四、最值.范围问题例4、已知曲线C的方程为xy22431，A（－1，0），B（1，0），过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若∠MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。解：（1）若l⊥x轴，则l的方程为xMN1132132()()，，，，∠°MAN23490arctan（不合题意）。（2）若l与x轴重合，则∠MAN＝π（不合题意）。（3）若l与x轴、y轴不垂直，设lykxk：≠()()10，代入曲线C的方程得：22222211221212228412(34)84120()()3434kkkxkxkMxyNxyxxxxkk设，，，，所以AMAN·212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxyyxxkxx2221212(1)(1)()1kxxkxxk793422kk因为∠MAN为钝角，所以AMAN·0所以79009722kk，所以，所以37700377kk或。所以倾斜角的范围是：(arctan)(arctan)0373377，，点评：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在△FPF12中，∠F1PF2为锐角cos∠·FPFPFPF121200；∠F1PF2为直角cos∠·FPFPFPF121200；∠F1PF2为钝角cos∠·FPFPFPF121200。五、开放性问题例5、已知12FF，为双曲线22221(00)abxyabab且，的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题：①12PFF△的内切圆的圆心必在直线xa上；②12PFF△的内切圆的圆心必在直线xb上；③12PFF△的内切圆的圆心必在直线OP上；④12PFF△的内切圆必通过点0a，．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．解析：设12PFF△的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①、④正确。点评：本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质是问题求解的关键。