《高等数学1试题微积分》--(2)

大一《高等数学A》一、单项选择题）1．设1,10,1xfxx，则fffx（）A.0B.1C.1,10,1xxD.0,11,1xx2．设函数()fx连续,且(0)0f,则存在0,使得（）A.()fx在(0,)内单调增加.B.()fx在(,0)内单调减小.C.对任意的(0,)x有()(0)fxfD.对任意的(,0)x有()(0)fxf.3．设0x时，tansineexx与nx是同阶无穷小，则n为（）A.1B.2C.3D.44．在,内方程1142cos0xxx（）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根5．设fx对任意x均满足1fxafx，且0fb，其中ab为非0非1的常数，则（）A.fx在1x处不可导B.fx在1x处可导，且1faC.fx在1x处可导，且1fbD.fx在1x处可导，且1fab6．设fxfx，,x，且在0,内0,0fxfx，则在,0内（）A.0,0fxfxB.0,0fxfxC.0,0fxfxD.0,0fxfx二、填空题（每小题4分,共24分）7．设函数fx可表示成fxFxGx，其中()Fx为偶函数，Gx为奇函数，则Fx=,Gx=.8．01limlnxxaxa.9．设11,0,0xxfxxabxx，则当a，b时，fx处处可导。10．设yfx由方程2ecose1xyxy所确定，则曲线yfx在0,1处的法线方程为.11．设fu可导，函数yyx由22yxxyfxy所确定，则dy.12．设fx有任意阶导数且2()fxfx，则nfx.（n2）三、解答题（每小题9分，共27分）13．求极限sinsinsinlimsinxtxtxtx，记此极限为fx，求fx的间断点，并指出其类型.14．设4211xyfx，lnfxx，求ddyx.15．已知23exfxx在1x处16ef，fx有反函数x，求3e.四、证明题（每小题9分，共18分）16．设010,1sin1nnxxx，1,2,n，证明数列nx收敛，并求limnnx。17．设fx在0,1上二次可微，且010ff，证明：存在0,1，使20ff.五、应用题（本题7分）18．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？参考答案一、单项选择题:1.B2.C,3.C,4.C,5.D,6.A.二、填空题：7．11[()()];[()()]22FxfxfxGxfxfx8．19．11,28ab,10．220xy,11．22221122222lnddln2yxyxxyfxyyxyxyyxyxxxyxyfxy;12．1!()nnfxnfx三、解答题：13．解：sinsinexplim1esinsinsinxxtxtxfxxtx，间断点为π0,1,2,xkk。因为0limexfx，所以0x为第一类间断点，其余间断点属于第二类，无穷间断点。14．解：令4211xux，则22d42d1uxxxx，所以44222222ddd142121lnddd1111yyuxxxfxxxuxxxxx。15．解：因13ef，所以，3e1，113e16ef。四、证明题：16．证明：101sin010xx，01x。假设1nnxx和01nx，则11sin1sin10nnnnxxxx和101nx，所以limnnx存在。设limnnxc，在11sin1nnxx两边令n，有1sin1cc，所以10c，即1c。17．证明：令Fxxfx。在0,1上，Fxfxxfx，010FF，由罗尔定理，存在0,1c，使0Fc。又000Ff，2Fxfxxfx，0,1x，再对Fx应用罗尔定理，存在0,0,1c，使0F，即20ff。五、应用题：18．解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足618rh，即13rh。设盛满溶液时漏斗的体积为201π6183V，则有2201ππ53VrhHt上式两边对t求导，得2d1d25d9dHhhtt。代入d1cm/sdht，12cmh，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为22d121410.64cm/sd9255Ht。