结构力学第二章-平面体系的几何组成分析

第二章平面体系的几何组成分析LastEdit:2009.7.272/73本章主要内容：1几何构造分析的几个概念；2平面几何不变体系的组成规律;3体系的几何组成分析举例;4平面杆件体系的计算自由度;5体系的几何特征与静力特征的关系。课后作业3/73本章引言一个结构要能够承受各种可能的载荷，首先其几何构造应当合理，本身应当是几何稳固的，即其几何形状保持不变。因此，从几何构造来看，一个结构应是一个几何形状不变的体系，简称几何不变体系。进行几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体系，检查它是不是一个几何不变体系。在平面体系的几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身简单浅显，但规律的应用变化无穷，因此本章遇到的困难不在于学懂，而在于运用。4/732-1几何构造分析的几个概念5/732-1几何构造分析的几个概念一、几何不变体系和几何可变体系ABCDABCD几何构造分析中，不考虑由于材料应变而发生的变形。几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的；6/732-1几何构造分析的几个概念二、刚片在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。1234567/732-1几何构造分析的几个概念三、自由度yxAA'DxDyO平面内一点有两种独立运动方式(两个坐标x,y可以独立地改变)一点在平面内有两个自由度yxOABDxDyA'B'Dq一个刚片在平面内有三种独立运动方式(三个坐标x,y,q可以独立地改变)一个刚片在平面内有三个自由度8/732-1几何构造分析的几个概念三、自由度一般来说，如果一个体系有n个独立的运动方式，则这个体系有n个自由度。一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。普通机械中使用的机构有一个自由度，即只有一种运动方式；一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。9/732-1几何构造分析的几个概念四、约束约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约束和内部约束两种。外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座；内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结点，刚结点和链杆等。10/732-1几何构造分析的几个概念四、约束yxOABxAyAq一个刚片在平面内有三个自由度(xA,yA,q)若增加一根支杆把A点与基础相连则A点的坐标xA,yA相互不独立，则此刚片还剩下两个运动独立几何参数[(xA,q)或(yA,q)]。故此刚片的自由度变为2。结论：一根支杆可抵销一个自由度，即相当于一个约束。11/732-1几何构造分析的几个概念四、约束yxIII互不相连的两个刚片在平面内有几个自由度？6个用铰A连接A则还剩下四个运动独立几何参数xAyAq1q2xA,yA,q1,q2仅连接两个刚片的铰称为单铰结论：一个单铰相当于两个约束，抵销两个自由度。12/732-1几何构造分析的几个概念四、约束yxIAxAyAq1q2IIIIIq3互不相连的三个刚片用铰A连接其自由度由9减少为5xA,yA,q1,q2,q3连接多于2个刚片的铰称为复铰由此类推：连接n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰或2(n-1)个约束。例如连接10个刚片的复铰，相当于18个约束，而体系的自由度应为3×10－18=1213/732-1几何构造分析的几个概念四、约束完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点2个单铰1个单铰1个单铰14/732-1几何构造分析的几个概念四、约束单刚结点两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由6减少为3。一个单刚结点相当于3个约束。复刚节点三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由9减少为3。由此类推:连接n个刚片的复刚结点，它相当于n－1个单刚结点或3(n－1)个约束。15/732-1几何构造分析的几个概念四、约束yxOxAAyABxByB平面内互不相连的两个点A,B,共有4个自由度。用长为l的链杆将其相连lA,B成为同一刚片上的两个点，则自由度成为3。一个链杆相当于1个约束若用数学表达式，则应满足以下条件：222lyyxxABAB4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动几何参数。16/732-1几何构造分析的几个概念五、多余约束如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，这种约束称为多余约束。BCABCA12123无多余约束有1个多余约束只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响。17/732-1几何构造分析的几个概念六、瞬变体系ABC12两根链杆彼此共线1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。BCA12IIIIII左图两圆弧相切，A点可作微小运动；右图两圆弧相交，A点被完全固定。18/732-1几何构造分析的几个概念六、瞬变体系2、当A点沿公切线发生微小位移后，两根链杆不再共线，因而体系就不再是可变体系。ABC12III本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。可变体系分为瞬变体系和常变体系，如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。19/732-1几何构造分析的几个概念六、瞬变体系3、对于A点增加两根共线的链杆后，仍然具有1个自由度。可见在链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束。ABC12III一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束。20/732-1几何构造分析的几个概念七、瞬铰ABCD12OI点O:瞬时转动中心此时刚片I的瞬时运动情况与刚片I在O点用铰和基础相连的运动情况完全相同。从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为瞬铰在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变化。用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约束的等效变换只适用于瞬时微小运动。21/732-1几何构造分析的几个概念八、无穷远处的瞬铰如果用两根平行的链杆把刚片I和基础相连，则其瞬铰在无穷远处—瞬时平动。在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采用影射几何中关于∞点和∞线的四点结论：ABCD12∞I1每个方向有一个∞点；2不同方向有不同的∞点；3各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；4各有限点都不在∞线上。22/732-2平面几何不变体系的组成规律23/732-2平面几何不变体系的组成规律一、一个点和一个刚片之间的联结方式一个点和一个刚片（或基础）之间联结后即无多余约束又是几何不变的整体BCABCA12123ABC12几何不变无多余约束几何不变有多余约束几何可变规律1一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。24/732-2平面几何不变体系的组成规律二、两个刚片之间的联结方式几何不变无多余约束规律2两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。ABCI23ABCI3II几何不变无多余约束25/732-2平面几何不变体系的组成规律二、两个刚片之间的联结方式几何不变无多余约束规律3两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。ABCI3II几何不变无多余约束ABCI3II1226/732-2平面几何不变体系的组成规律三、三个刚片之间的联结方式几何不变无多余约束规律4三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。ABCI3II几何不变无多余约束ABCIIIIII27/732-2平面几何不变体系的组成规律[小结]ABCI23ABCI3IIABCI3II12ABCIIIIII如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的形状是不变的，而且没有多余约束，这个基本规律可称为三角形规律。28/732-2平面几何不变体系的组成规律关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件III123O三链杆相交于同一点O,刚片II相对于基础I可绕点O作瞬时转动。瞬变体系29/732-2平面几何不变体系的组成规律关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件I123II(1,2)O1(2,3)O2由图可知，O1,O2,O3均是∞点而根据影射几何:各∞点都在同一直线上因此，三个虚铰在同一直线上。刚片II可以相对于基础I在垂直链杆的方向上作瞬时移动(绕无穷远的一点作瞬时转动)。(1,3)O330/732-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配上述四种基本组成规律也可归纳为三种基本装配格式：ABCI23固定一个结点的装配格式简单装配格式ABCI3IIABCI3II12固定一个刚片的装配格式联合装配格式ABCIIIIII固定两个刚片的装配格式复合装配格式31/732-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各种各样的几何不变且无多余约束的体系。装配的过程通常有两种：1从基础出发进行装配取基础作为基本刚片，将周围某个部件按照基本装配格式固定到基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。2从内部刚片出发进行装配先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片，最后将扩大的基本刚片和基础装配，形成整个体系。32/73E⑩⑨⑦⑧D⑤⑥C③④B2-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配1从基础出发进行装配-【例2-1】①②③④⑤⑥⑦⑧⑩⑨ABCDE①②A33/732-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配1从基础出发进行装配-【例2-2】ⅠⅡⅢⅣ123ABCDⅠⅡ1AⅢ2BⅣ3CD34/732-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配1从基础出发进行装配-【例2-3】ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅠⅡⅢⅣⅤⅥ35/73DFABEG2-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配2从内部刚片出发进行装配-【例2-4】DFABCEGC36/732-2平面几何不变体系的组成规律四、体系的装配2从内部刚片出发进行装配-【例2-5】ABCDEFBCFADE37/732-3体系的几何组成分析举例38/732-3体系的几何组成分析举例【例2-6】对图所示体系作几何组成分析ABCDEFABCDEFIIIIIABI(III)(IIII)CDEF(IIIII)实铰(III)实铰(IIII)虚铰(IIIII)连接三个刚片I(基础)IIIII的三个铰不在一直线上。故为几何不变体系，且无多余约束。39/732-3体系的几何组成分析举例【例2-7】利用无穷瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何组成IIIIIIIII(IIII)(IIIII)∞(III)若(IIII)和(IIIII)的连线与刚片I和刚片II连接的两个链杆平行，则三铰共线，体系是瞬变的。注：每个方向有一个∞点；如果两者并不平行，则体系几何不变，且无多余约束。40/732-3体系的几何组成分析举例【思考及讨论2-1】以下是几何不变体系还是几何瞬变体系？IIIIIIIIIIIIIIIIII几何瞬变提示：各∞点都在同一直线上几何不变且无多余约束提示各有限点都不在∞线上41/732-3体系的几何组成分析举例【例2-8】分析如图所示体系的几何构造DABEFCDABEFC基础刚片I刚片II刚片IIIDAB(III)EC(IIII)F(IIIII)连接三个刚片I(基础)IIIII的三个铰不在一直线上。故为几何不变体系，且无多余约束。42/732-3体系的几何组成分析举例课堂练习:分析如图所示体系的几何构造43/732-3体系的几何组成分析举例解答:几何瞬变III44/732-4平面体系的计算自由度45/732-4平面体系的计算自由度运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题：1)体系是否几何可变？自由度S是多少？2)体系有无多余约束？多余约束的个数n是多少？复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其S和n，引进计算自由度W的概念，然后根据W来得出关于S和n的一些定