第九节闭区间上连续函数性质

第九节闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理一、最大值和最小值定理定义)()(),()(,,),(fxffxfIxIxfI都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间.)()(,)()(上的最小值在区间是函数上的最大值在区间是函数则称IxffIxff并记为)(f)}({maxxfIx)(,f)}({minxfIx例如,,sgnxy,),(上在,2maxy;1miny,),0(上在.1minmaxyy,sin1xy,]2,0[上在;0miny,1maxy定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值.abxyo)(xfy.)()}({min,)()}({max],,[,,],[)(,],[)(],[],[fxffxfbabaBxfbaCxfbaxbax使得且则若xyo)(xfy211xyo2)(xfy1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.注意二、零点定理与介值定理.)(,0)(000的零点称为函数则使如果xfxxfx定理2(零点定理)设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0),则至少存在一点(a,b)使f()=0.ab321几何解释:.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfyxyo)(xfy1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.注意一个主要应用：证明方程根的存在性或者证明函数零点的存在性.例1.)1,0(01423至少有一根内在区间证明方程xx证,14)(23xxxf令,]1,0[)(上连续在则xf,01)0(f又,02)1(f由零点定理,使),1,0(,0)(f,01423即.)1,0(01423内至少有一根在方程xx例2.)1,1(0有唯一的根内在区间证明方程xex证,)(xexxf令,]1,1[)(上连续在则xf,01)1(1ef又,01)1(ef由零点定理,使),1,1(,0)(f,0e即.)1,1(0内至少有一根在方程xex是单调增加的函数，又xexxf)(.)1,1(0内有唯一根在方程xex几何解释:Mf(b)f(a)mab1232x1xxyo)(xfy.)(一个交点至少有水平直线与连续曲线弧yxfy定理3(介值定理)设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)则对介于f(a)与f(b)之间的任意一个实数,则至少存在一点(a,b)使f()=.推论1在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.推论2在闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间.连通性质:Page75例3.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fFbbfbF)()(,0.)(f即.)()(称为辅助函数证明中引入的函数xxfxF设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一.例3.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数例.)(),1,0(,1)(0,]1,0[)(fxfxf使得至少存在一点证明且上连续在区间设函数例4.)3,2(,)1,0(,)2,3(0263内各有一个实根－－在方程证明xx例5.:一实根方程至少有任何实系数的奇次代数证明三、小结三个定理最值定理;介值定理;零点定理.注意1．闭区间；2．连续函数．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),验证F(x)满足零点定理条件,再利用零点定理得出命题的证明.这两点不满足上述定理不一定成立．思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.思考题解答不正确.例函数0,210,)(xxexf)(xf在)1,0(内连续,.02)1()0(ef但)(xf在)1,0(内无零点.一、证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.二、若)(xf在],[ba上连续，bxxxan21则在],[1nxx上必有，使nxfxfxfxfn)(......)()()(21.三、设)(xf在],[ba上连续，bdca,试证明：对任意正数qp和；至少有一点],[dc,使)()()()(fqpxqfxpf.练习题