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10.31-11.6第四周数的整除，余数和周期问题1.【第11届中环杯初赛第2题】a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8最大是（），最小是（）。2.【第8届小机灵初赛第13题】N是一个四位数。如果N+25是8的倍数，N的最小值是________。3.【第14届中环杯初赛第2题】在325后面补上3个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小，则这个新六位数是__________。4.【第11届小机灵杯初赛第11题】黑板上写有1，2，3......，1989这1989个连续的自然数，先做这样的变换：擦去黑板上任意的两个数，并添上被擦去的两个数的和除以19所得的余数。经过若干次变换后，黑板上还剩下两个数，一个是89，另一个数是一位数，这个一位数是（）。5.【第13届中环杯初赛第14题】如果一个正整数除以它的数码和后所得的余数为22，那么称这个正整数为“好数”。最小的“好数”是（）。110.31-11.66.【第14届中环杯初赛第13题】将既能被5整除又能被7整除的自然数自105起从小到大排成一行，取前2013个数。这2013个数的和被12除的余数是______。7.【第12届中环杯初赛第4题】今年是中国共产党建党90周年。据考证，伟大的中国共产党的确切成立日期是1921年7月23日。今年（2011年）的7月23日是星期六，那么90年前的这一天是星期（）。8.【第11届中环杯初赛第4题】某年的2月有5个星期五，那么这年的1月31日是星期（）。9.【第8届中环杯初赛第2题】从1000里减去100，加上50，再减去100，再加上50......这样算下去，要运算（）次后结果才是0。10.【第13届中环杯决赛第6题】123123...123（2013个123）÷13的余数是（）。210.31-11.6解析：1.【考点】数论（整除）【解析】能被8整除的特点是末三位能被8整除，则这个数就能被8整除。4b8最大是488，最小是408。所以这个五位数最大92488，最小12408。2.【考点】数论（整除）【解析】N+25是8的倍数，且25除以8的余数是1，那么N除以8的余数应该是7，这样的最小的四位数是1007。3.考点】数论整除【解析】先满足4、5的整除，个位为0；再要最小，百位为0，然后满足3的整除，十位为2。这个六位数是325020。4.【考点】余数性质【解析】根据和的余数等于余数的和的余数，（1+2+3+......+1989）÷19=104160......15；89÷19=4......13；则剩下的数除以19的余数必然为2，而且还是一位数，只能是2。5.【考点】数论余数【解析】余数必然小于除数，余数为22，除数最小为23；此时这个数最小为599；599÷23=26......1；不符合；继续检验689=23×30-1符合要求；而若正整数数码和大于等于24，其至少要大于等于699；所以689为最小的好数。6.【考点】余数与周期【解析】即求一个首项为105、公差为[5,7]=35的等差数列前2013项的和。第2013项为105+（2013-1）×35=35×3+35×2012=35×2015。前2013项的和为（105+35×2015）×2013÷2=35×1009×2013。351009201311193mod12，这个和除以12余3。7.【考点】余数与周期【解析】考虑90年（2011-90=1921）前，就要考虑过去了多少天。从1921开始到2011年，由90÷4=22（个）......2（年）可知，共有22个闰年。那么，就一共过去了（365×90+22）天，我们需要算得的是它除以7的余数，根310.31-11.6据我们学过的性质，可以分别求出各自除以7的余数以后进行简算，即（365×90+22）÷7商为整数。即所有天数和能够被7整除，那么那一天，也仍然和今年的相同，为星期六。8.【考点】周期问题【解析】某年的2月有5个星期五，说明这个2月至少有4×7+1=29天，并且2月29日是周五，所以2月1日也是周五，所以1月31日是周四。9.【考点】周期问题【解析】每操作两次实际就是少了50，但是当减到100的时候，只减少一次就变成了0。所以（1000-100）÷50=18（组）。经过18组操作后变成100，所以18×2+1=37（次）变成0。10.【考点】余数，周期问题【解析】123÷13=9......6,123123=123×1001=123×7×11×13,所以两个123连在一起可以被13整除，那么最后只要考虑123÷13=9......6即可。本题答案是6。4