不动点与稳定点

高考数学试题研究不动点：已知函数)(xfy，Ix，若存在Ix0，使得00)(xxf，则称0x为函数)(xfy的不动点。不动点实际上是方程组xyxfy)(的解),(00yx的横坐标，或两者图象的交点的横坐标当然，这个方程组根据函数)(xfy的不同，可能有多解。例如1：xyxy12的解只有一个)1,1(，故函数12xy有一个不动点10x例如2：xyxy122的解为)21,21(，)1,1(，故函数122xy有两个不动点1,21稳定点：已知函数)(xfy，Ix，若存在Ix0，使得00))((xxff，则称0x为函数)(xfy的稳定点。很显然，若0x为函数)(xfy的不动点，则0x必为函数)(xfy的稳定点。证明是非常简单的！因为00)(xxf，所以000)())((xxfxff，即00))((xxff，故0x也是函数)(xfy的稳定点。反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！例如3：设12)(xxf，令xx1)12(2，解得1x故函数12xy有一个稳定点10x例如4：12)(2xxf，令xx1)12(222，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21x，由此因式分解，可得0)124)(12)(1(2xxxx还有另外两解451x，故函数122xy的稳定点有1,21，451其中451是稳定点，但不是不动点。请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.xyxy12xy图-1xyxy122xy图-2xyxy12xy2121xy图-3xyxy122xy21xy图-4由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线xy的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.根据例1和例3，我们可以给出命题：若函数)(xfy单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。证明：若函数)(xfy有不动点0x，显然它也有稳定点0x；若函数)(xfy有稳定点0x，即00))((xxff，设00)(yxf，则00)(xyf即),(00yx和),(00xy都在函数)(xfy的图象上，假设00yx，因为)(xfy是增函数，则)()(00yfxf，即00xy，与假设矛盾；假设00yx，因为)(xfy是增函数，则)()(00yfxf，即00xy，与假设矛盾；故00yx，即00)(xxf，)(xfy有不动点0x.【2013年•四川卷（文科）第10题】1.设函数axexfx)(（Ra，e为自然对数的底数）.若存在]1,0[b使bbff))((成立，则a的取值范围是（）A.],1[eB.]1,1[eC.]1,[eeD.]1,0[解析:axexfx)(，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数又因为存在]1,0[b使bbff))((，即有稳定点b，所以它必有不动点]1,0[b，使得bbf)(即xaxexfx)(在]1,0[x有解,整理可得，2xxeax，在]1,0[x有解令2)(xxexgx，]1,0[x∵021121)(xexgx，∴)(xg在]1,0[x单调递增1)0(g，eg)1(，],1[ea，故选择A.【2013年•四川卷（理科）第10题】设函数axexfx)(（Ra，e为自然对数的底数）.若曲线xysin上存在点),(00yx使00))((yyff成立，则a的取值范围是（）A.],1[eB.]1,1[1eC.]1,1[eD.]1,1[1ee解析:axexfx)(，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数又因为存在]1,1[0y使00))((yyff，即有稳定点0y，所以它必有不动点]1,1[0y，使得00)(yyf即xaxexfx)(在]1,1[x有解，显然)0,1[x是无解的.整理可得，2xxeax，在]1,0[x有解令2)(xxexgx，]1,0[x∵021121)(xexgx，∴)(xg在]1,0[x单调递增1)0(g，eg)1(，],1[ea，故选择A.