二次函数与特殊三角形、四边形综合题

1/13二次函数与特殊三角形、四边形综合题一、与等腰三角形、直角三角形相关【例1】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MNAB∥时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DEAB∥交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．∵ABDE∥，ABMN∥．∴DEMN∥．∴MCNCECCD．∴1021035tt．解得5017t．5分（2）分三种情况讨论：①当MNNC时，如图②作DFBC交BC于F，则有2MCFC即．∵4sin5DFCCD，∴3cos5C，∴310225tt，解得258t．6分②当MNMC时，如图③，过M作MHCD于H．则2CNCH，∴321025tt．∴6017t．7分③当MCCN时，如图④．则102tt．103t．-------------------------------------8分综上所述，当258t、6017或103时，MNC△为等腰三角形．【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，ABMCNEDABMCNFDABMCNHD原图MNDCBA2/131OA，2OC，点D在边OC上且54OD．（1）求直线AC的解析式．（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得DMC△为等腰三角形？若存在，直接写出．．．．所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线2yx经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且ODE△沿DE折叠后点O落在边AB上O处？yxODBCA解：（1）OA=1，OC=2则A点坐标为（0，1），C点坐标为（2，0）设直线AC的解析式为y=kx+b0120bkb解得121kb直线AC的解析式为112yx··················2分（2）123555(0)(0)(0(52))384PPP，，，，，或35(0)4(52)P，（正确一个得2分）························8分（3）如图，设(1)Ox′，过O′点作OFOC′于F222251()4ODOFDFx′由折叠知ODOD′22551()()44x12x或2···········10分【例3】在平面直角坐标系xOy中，A、B为反比例函数4yx(0)x的图象上两点，A点的横坐标与B点第25题3/13的纵坐标均为1，将4yx(0)x的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为'A，B点的对应点为'B．（1）求旋转后的图象解析式；（2）求'A、'B点的坐标；（3）连结'AB．动点M从A点出发沿线段'AB以每秒1个单位长度的速度向终点'B运动；动点N同时从'B点出发沿线段''BA以每秒1个单位长度的速度向终点'A运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使'MNB△为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．OyxB'A'BAy=4x解：（1）旋转后的图象解析式为4yx(0)x．………………………1分（2）由旋转可得'A（4，-1）、'B（1，-4）．…………………………3分（3）依题意，可知'45B．若'MNB△为直角三角形，则'MNB△同时也是等腰三角形，因此，只需求使'MNB△为直角三角形的t值．分两种情况讨论：①当'BNM是直角，'BNMN时，如图1，∵AB′=8，B′A′==32，AM=B′N=MN=t，∴B′M=8-t，∵222''BNMNBM，∴222(8)ttt．…………4分解得882t（舍去负值），∴882t．………………5分②当'BMN是直角，'BMMN时，如图2，∵AB′=8，B′A′==32，AM=B′N=t，4/13∴B′M=MN=8-t，∵222''BMMNBN，∴222(8)(8)ttt，解得1682t．∵16828，168232，∴此时t值不存在．……………6分（此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以）综上所述，当882t时，'MNB△为等腰直角三角形．………………7分【例4】如图，已知抛物线1C：225yax的顶点为P，与x轴相交于AB，两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图1，抛物线2C与抛物线1C关于x轴对称，将抛物线2C向左平移，平移后的抛物线记为3C，3C的顶点为M，当点PM，关于点A成中心对称时，求3C的解析式2yaxhk；（3）如图2，点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线1C绕点Q旋转180后得到抛物线4C．抛物线4C的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．图2图1yxC4C1QFENPBOAxyC3C2C1MPBOA解：（1）由抛物线C1：5)2(2xay得顶点P的坐标为（2，5）………….1分5/13∵点A（－1，0）在抛物线C1上∴95a.………………2分（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..∵点P、M关于点A成中心对称,∴PM过点A，且PA＝MA..∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴顶点M的坐标为（4，5）.………………………3分∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式5)4(952xy.…………4分（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称.由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.∵旋转中心Q在x轴上,∴EF＝AB＝2AH＝6.∴EG＝3，点E坐标为（3m，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.根据勾股定理，得,104m4mPRNRPN222250m10mHEPHPE22223435NE222①当∠PNE＝90º时，PN2+NE2＝PE2，解得m＝344，∴N点坐标为（344，5）②当∠PEN＝90º时，PE2+NE2＝PN2，解得m＝310，∴N点坐标为（310，5）.③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º………7分综上所得，当N点坐标为（344，5）或（310，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分二、与平行四边形相关【例5】抛物线223yxx与x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE∥交抛物线于点F，设点P的横坐标为m：①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设BCF△的面积为S，求S与m的函数关系式．解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．·········································································2分抛物线的对称轴是：x=1．···························································································3分（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．RGOC1C4PNFEHABQyxyDCEPF6/13把B（3，0），C（0，3）分别代入得：303kbb，解得：k=-1，b=3．所以直线BC的函数关系式为：3yx．当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1，2）．当xm时，3ym，∴P（m，m+3）．·····································································································4分在223yxx中，当1x时，4y．∴14D，．当xm时，223ymm，∴223Fmmm，．···································5分∴线段DE=4-2=2，线段222333PFmmmmm．················6分∵PFDE∥，∴当PFED时，四边形PEDF为平行四边形．由232mm，解得：1221mm，（不合题意，舍去）．因此，当2m时，四边形PEDF为平行四边形．··············································7分②设直线PF与x轴交于点M，由3000BO，，，，可得：3OBOMMB．∵BPFCPFSSS△△．································································································8分即1111()2222SPFBMPFOMPFBMOMPFOB．221393303222Smmmmm≤≤．········································9分【例6】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过40A，，04B，，20C，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB△的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点PQBO，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．CyxOBAM7/13【例7】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线364yx与x轴、y轴的交点分别为AB、，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点.C（1）直接写出点C的坐标，并求过ABC、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为TQ，为线段BT上一点，直接写出QAQO的取值范围．8/13解：（1）点C的坐标为(3,0).------------------------------------------1分∵点A、B的坐标分别为(8,0),(0,6)AB，∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为(3)(8)yaxx.将0,6xy代入抛物线的解析式，得14a.-----------------------2分∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为2111644yxx.-------------3分（2）可得抛物线的对称轴为112x，顶点D的坐标为1125(,)216，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为26yx.----------4分设点P的坐标为(,26)xx.解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M.∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.∴PMDGOMGA，