31第16卷第3期邯郸学院学报2006年9月Vol.16No.3JournalofHandanCollegeSept.2006函数连续性的本质王少彧1,李金辉1,李淑芬2(1.邯郸学院数学系,河北邯郸,056005;2.河北省魏县第四中学,河北魏县,056800)————————————————————————————————————————————摘要:分析了函数连续的本质特性,提出了在函数连续性教学中的一些见解.关键词:函数;连续性;间断性中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1673-2030(2006)03-0031-02收稿日期:2005-11-30作者简介:王少彧(1977—),女,河北邯郸人,邯郸学院数学系助教.————————————————————————————————————————————1函数的连续性1.1函数连续定义的发展学过连续函数概念的读者,也许会认为,一元连续函数在平面上表示一条连续曲线,它可以笔不离纸地一笔画出来.但不幸的是,这样直观的推想是错误的.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin)(xxxxxfy,容易证明这个函数在任意点是连续的,但我们无法笔不离纸地一笔画出来函数在0=x的任意小的邻域内的图形.现在我们谈谈连续函数的严密定义.17、18世纪是数学家的英雄时期,并取得了丰硕的成果,构成了庞大的数学分析分支.但它从概念到证明都是不够严密的.在19世纪前后,波尔察诺、柯西、维尔斯特拉斯等人为了使微积分更严密,发现算术本身是有巩固基础的,可以在算术概念的基础上重新分析.这样他们正确地抓住了极限与连续性是两个本质的概念.正如现在我们知道的,极限与连续性是两个孪生兄弟.1817年波尔查诺首先给出了连续性的恰当的定义:“若在区间内任意一点x处,只要ω的绝对值充分小,就能使差)()(xfxf−+ω的绝对值任意小,那么就说)(xf在区间上是连续的.”[1]184-1861821年柯西在他的“分析教程”中,进一步把函数的连续性定义为“设)(xf是变量x的一个函数,并设对介于给定两个界之间的x值,该函数总取一个有限且唯一的值,如果从包含在两个界之间的某个x值开始,给变量x以一个无穷小增量α,函数本身就得到一个增量,即差)()(xfxf−+α,这个差同时依赖于新变量α和原变量x的值.如果对于每一个在这两限中间的x值,差)()(xfxf−+α的数值随着α的无限减小而无限减小,那么就说在x的两限之间,函数)(xf是变量x的一个连续函数.”[1]184-186现在的分析中使用的连续函数的定义,实际上是由维尔斯特拉斯给出的.其定义为:“如给定一个正数ε,都存在一个正数δ,使得对于区间δ−0xx内的所有x,都有ε−)()(0xfxf,则)(xf在x=0x处连续.”[2]115-116维尔斯特拉斯所给的定义方式,使用量化的表示方法,消除了波尔查诺和柯西定义中“充分小”、“任意小”、“无限减小”等词的不明确性.使极限和函数的连续性建立在巩固的算术概念的基础上.这样运用量化和符号的演算,使得极限和连续性可以使用强有力的算术与代数的推理的方法.虽然函数的连续性对区间才有真实的意义,但是维尔斯特拉斯的定义抓住了连续与间断的本质,提出了较抽象的“点连续”概念.这对函数间断点的研究十分重要.在一般分析教程中,一开始就引入点连续的概念,对初学者来说,可能觉得是捉摸不定的东西,与直观想象的连续函数不大相关.如果了解了从波尔查诺、柯西到维尔斯特拉斯的定义,就不难理解函数连续的概念.以下我们通过一个例子进一步认识函数在一点连续的概念.例如,函数)()(xxDxfy==,其中)(xD是狄里克莱函数,因为)0(0)(lim0fxfx==→,所以函数在0=x点连续.而)()(xxDxfy==在其它点不连32续,用海涅定理不难证明.1.2左、右连续的引入按照函数点连续的定义,若函数在一点连续,那么必须存在一个此点的邻域,使函数在这个邻域有定义.我们又说函数在所定义的区间上每一点连续,那么什么区间才能使区间内每一点,都有一小邻域,使这个小邻域落在函数定义域之内呢?只有开区间具有这种性质,因为闭区间的两个端点不存在一个包含端点的小邻域,使它落在闭区间上.如此按照连续函数的一般定义,函数的连续性对闭区间就关闭了大门.这就需要引入左、右连续的概念.例如,函数)(xfy=,定义在闭区间[]ba,上,对于左端点,只有右边才有意义,需要考虑右边的连续性;对于右端点,只有左边才有意义,需要考虑左边的连续性.所以若函数)(xfy=在闭区间[]ba,上连续,是指函数)(xfy=在闭区间[]ba,的每一内点连续,而且左端点右连续,右端点左连续.对于分段表示的连续函数,不同区段用不同的式子表示,讨论区段连接点的极限要用到左极限和右极限.有这样的定理:“函数)(xfy=在0xx=点有极限的充分必要条件是左、右极限存在,并相等.”[2]53-55对于分段表示的连续函数在连接点的连续性,用左、右连续来讨论是很方便的.和极限对应有这样的定理:“函数在0xx=点连续充分必要条件是左、右连续.”[2]129-130当然,对于连续性就没有左、右连续并相等这一说.因此,左(右)极限值等于函数在该点的函数值才是左(右)连续.2函数的间断事物发展有渐变和突变,函数值也如此,即除有连续变化外,还有间断情形.因此对应连续点出现间断点.研究间断点的重要性,在一定的场合下并不亚于对连续性的研究.对间断点的研究是对间断点进行分类,并寻找不同类中间断点的特性.间断点就是破坏连续性的点,即不连续点.对于非边界的连续点来说,要求满足条件“左、右极限存在,并且极限值等于在该点的函数值”.[2]129-130如果破坏这些条件的任意一条,那么该点就是间断点.因为连续函数有比较“良好”的特性,所以间断点是按它与连续的“接近程度”来分类的.如此,间断点可以分为两大类.第一类间断点就是左、右极限都存在的间断点,这类中又分为两种.一种是更接近连续点的,它的左、右极限存在并相等,但极限值不等于函数在该点的值,或干脆函数在该点没有定义.对于这种间断点,改变该点的函数值,或补充这点的定义,使该点的函数值等于极限值,那么该点就变为连续点.这类间断点称为可去间断点.另一种间断点,是左、右极限存在但并不相等.很显然,构成这类间断点的函数是分段表示的函数.第二类间断点,就是左极限或右极限至少有一个不存在的间断点.这类间断点常见的有无穷间断点(函数值趋于无穷)、振荡(摆动)间断点.具有这类间断点的函数,在连接点的邻域是振动的或趋于无穷.3在函数连续的性质教学中,应注意的几个方面在教材中我们看到闭区间上连续函数有良好的性质,包括四个定理:有界性定理;昀大昀小值存在性定理;介值定理;一致连续性定理.这四个定理是描述闭区间上连续函数的“整体性”,这里以昀大昀小值存在性定理,一致连续性定理为例,简述教学中需要注意的问题.3.1关于昀大昀小值存在性定理在开区间连续的函数不一定有此性质,如f(x)=x在开区间(0,1)取不到昀大值和昀小值.若函数在闭区间上具有间断点,也不一定有此性质,如f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+−=≤+−21,31,110,1xxxxx 在闭区间[0,2]上有间断点x=1,它取不到昀大值和昀小值.3.2关于一致连续性定理函数f(x)=x1是初等函数,在区间(]1,0有定义,且在(]1,0上连续,但是不一致连续.证明这里从略.此例说明,在半开区间上连续的函数不一定在该区间上一致连续.此外,讨论函数的连续是以实数系为基础的,因此闭区间上连续函数的性质也只能在实数域才能保证.例如:定义在闭区间[]4,0的函数xxfsin)(=,其昀大值和昀小值分别在无理数2π=x和23π=x处达到,所以在[]4,0的全体有理数域上,函数无昀大值和昀小值.参考文献:[1]河北教育学院.数学史小词典[Z].石家庄:河北教育出版社,1989.[2]刘玉琏.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1988.