高考数学讲义三角函数.知识框架

1三角函数要求层次重难点任意角的概念和弧度制B掌握角的概念的推广，终边相同的角的表示弧度与角度的互化B掌握弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式，能正确地进行弧度和角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义C理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦C会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦、正切高考要求模块框架三角函数2和正切诱导公式C熟练运用诱导公式——“奇变偶不变，符号看象限”，并能运用这些公式进行求值、化简与证明同角三角函数的基本关系式C理解同角三角函数的基本关系式：22sincos1xx，sintancosxxx；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式，并掌握其应用sinyx，cosyx，tanyx的图象和性质C了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法函数sin()yAx的图象C会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图，理解,,A的物理意义，掌握由函数sinyx的图象到函数sin()yAx的图象的变换原理和方法用三角函数的图象解决一些简单的实际问题B掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心三角函数的定义域和值域B掌握三角函数的定义域、值域的求法三角函数的性质C掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为sin()yAx的三角函数的性质三角函数的图象和性质的应用C掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．二倍角的正弦、余弦、正切公式C掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．简单的恒等变形B3任意角与弧度制1.角的概念的推广⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.⑶在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.教师备案可通过初中角的概念的定义引出角的概念的推广.①初中角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②角还可以看成是一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.初中学此定义时，不考虑旋转方向，旋转的绝对量是一样的，而且旋转的绝对量不超过一个周角.③转角：旋转生成的角，又常叫做转角.各角和的旋转量等于各角旋转量的和.2.终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为360,ZSkk.集合S的每一个元素都与的终边相同，当0k时，对应元素为.教师备案①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同；②终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.③正确理解角：“0~90间的角”指的是：090≤；“第一象限的角”，“锐角”，“小于90的角”，这三种角的集合分别表示为：36036090,kkkZ，090，|90.3.弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.教师备案一些特殊角的度数与弧度数的对应表：度数015°30456075°90120135150弧度0π12π6π4π35π12π22π33π45π6度数180210°225°240°270300°315°330°360弧度π7π65π44π33π25π37π411π62π⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知识内容4知角的弧度数的绝对值lr，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.⑶弧度与角度的换算：180πrad，1801rad57.305718π教师备案比值lr与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关.度量角的制度除角度制和弧度制外，还有军事上常用的密位制，密位制的单位是“密位”，1密位就是圆周的16000的弧所对的圆心角.因为3606000密位，所以6000116.7360密位密位；1密位3600.066000.除了以上三种以外，还有其他的角的度量单位，这里不再一一介绍.1.三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么⑴比值yr叫做的正弦，记作sin，即sinyr；⑵比值xr叫做的余弦，记作cos，即cosxr；⑶比值yx叫做的正切，记作tan，即tanyx；⑷比值xy叫做的余切，记作cot，即cotxy；⑷比值rx叫做的正割，记作sec，即secrx；⑸比值ry叫做的余割，记作csc，即cscry.教师备案①的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点(,)Pxy在的终边上的位置的改变而改变大小；③当π()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx与secrx无意义；同理，当π()kkZ时，xcoyy与cscry无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值，比值yr、xr、yx、xy、rx、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数.2.三角函数的定义域、值域函数定义域值域sinyR[1,1]5cosyR[1,1]tanyπ|π,2kkZR3.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：⑴正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr），对于第三、四象限为负（0,0yr）；⑵余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0xr），对于第二、三象限为负（0,0xr）；⑶正切值yx对于第一、三象限为正（,xy同号），对于第二、四象限为负（,xy异号）.可以用下图表示：说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.教师备案三角函数在各象限的符号是学习诱导公式的基础，因此建议教师在此处多举例让学生口答，灵活掌握这部分知识，在例题中没有放此类题目.可按以下方式举例：如⑴cos2500；⑵πsin04；⑶tan(672)0；（4）11πtan03，⑸cot(3)0.关于3rad的判断方法，可根据π3π2，则3rad所在的象限为第二象限.4.同角三角函数的基本关系式：平方关系：22sincos1xx，22sectan1xx，22csccot1xx商数关系：sintancosxxx，coscotsinxxx倒数关系：111sec,csc,tancoscoscotxxxxxx教师备案①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin4cos41等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如πtancot1(,)2kkZ；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），6如：2cos1sin，22sin1cos，sincostan等.④特殊角的三角函数值角0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsin01222321322212010cos13222120122232101tan03313不存在31330不存在06.诱导公式：⑴角与2π()kkZ的三角函数间的关系；sin(2π)sink,cos(2π)cosk,tan(2π)=tank;⑵角与的三角函数间的关系；sin()sin,cos()cos,tan()tan;⑶角与(21)π()kkZ的三角函数间的关系；sin(21)πsink,cos(21)πcosk,tan(21)πtank;⑷角与2的三角函数间的关系.πsincos2,πcossin2,πtancot2.教师备案诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以πsin2ym为例，若m为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角所在象限判断变换后的三角函数的符号，若m为π2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看象限.4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.⑴单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为(1,0)A，(1,0)A，而与y轴的交点分别为(0,1)B，(0,1)B.由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos,sin)，即(cos,sin)P.其中cosOM，sinON.NB'(0,-1)A'(-1,0)P(cos,sin)A(1,0)B(0,1)MOyxT'T(1,tan)xyOA(1,0)7这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T（或T），则tanAT(或AT).⑵有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负.⑶三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.我们就分别称有向线段MP，OM，AT为正弦线、余弦线、正切线.教师备案①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点.③三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.④由于三角函数线的知识是下面学习同角三角函数的基本关系式及诱导公式的基础，因此建议教师作即时性练习，此知识点的练习不作为例题出现.以下列各角为例，作出各角的正弦线、余弦线、正切线.⑴π3；⑵7π6；⑶2π3；⑷11π6.⑤在本讲还没有学习三角函数的图象前，适当引导学生用三角函数线来观察函数值的变化情况，取值范围等等，增强学生的“数形结合”意识.三角函数的性质1.三角函