FIR滤波器的设计.ppt

1第七章FIR数字滤波器的设计方法7.1引言7.2线性相位FIR滤波器的特点7.3窗函数设计法7.6IIR与FIR数字滤波器的比较27.1、引言IIR数字滤波器：FIR数字滤波器：优点：可以利用模拟滤波器设计，图表可查，方便简单缺点：相位非线性可以严格线性相位，又可以具有任意幅度特性FIR单位抽样响应是有限长的，滤波器是稳定的可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多37.2、线性相位FIR滤波器的特点FIR滤波器的单位冲激响应：()01hnnN10()()NnnHzhnz在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点由第五章第3节知，若满足的“偶对称”或“奇对称”条件：则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。)(nh)1()()1()(nNhnhnNhnh4h(n)为实序列时，其频率响应：一、线性相位条件即群延时是常数()dd()第二类线性相位：()第一类线性相位：()()jjHee10()()NjjnnHehne()()jHe线性相位是指是的线性函数5•第一类线性相位的充要条件()()(1)01hnhNnnN12Nn=(N–1)/2为h(n)的偶对称中心6•第二类线性相位的充要条件()()(1)01hnhNnnN12N/2n=(N–1)/2为h(n)的奇对称中心11()()022NNhh7二、线性相位FIR滤波器频率响应的特点1100()()(1)NNnnnnHzhnzhNnz1(1)0()NNmmhmz(1)1()NzHz1mNn令系统函数：()(1)01hnhNnnN由1(1)0()NNmmzhmz8(1)11()()()2NHzHzzHz得11(1)001()()2NNnNnnnhnzzhnz1(1)01()2NnNnnhnzzz11122120()2NNnnNNnzzzhn(1)1()NHzzHz由911221cos221sin2jNNnnzeNnzzNjn11122120()2NNnnNNnzzHzzhn112011201()cos2()()1()sin2jNNjnjzeNNjnNehnnHeHzNjehnncos2jxjxeex频率响应：10频率响应：()(1)hnhNn11201()()()cos2jNNjjzenNHeHzehnn12N1、h(n)偶对称为第一类线性相位1()2N相位函数：101()()cos[()]2NnNHhnn幅度函数：11频率响应：()(1)hnhNn11201()()()sin2jNNjjzenNHeHzjehnn112201()sin2NNjjnNehnn2、h(n)奇对称1()22N相位函数：12N/2为第二类线性相位幅度函数：101()()sin2NnNHhnn12三、幅度函数的特点1、h(n)偶对称，N为奇数11cos(1)cos22NNNnn11cos22NNn对呈偶对称101()()cos2NnNHhnn幅度函数：1cos2Nn()(1)hnhNn13-32011()2()cos22NnNNHhhnn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120()()cos()NnHann1(0)2Nah其中：11,...,2Nn1()22Nanhn相等项合并14()0,,2H对呈偶对称cos()0,2n对，呈偶对称120()()cos()NnHann152、h(n)偶对称，N取偶数12/0)]21(cos[)(2)(NnnNnhH则与1推导相同∵N为偶数，∴没有单独项.令，得：mNn22/1)]21(cos[)2(2)(NmmmNhH令n=m162/1)]21(cos[)2(2)(NnnnNhH2/1)]21(cos[)()(NnnnbH其中2,,2,1),2(2)(NnnNhnb因此这种情况不适合做在处不等于零的滤波器，如高通滤波器。特点：当时，，故，即在z=-1为零点，且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。0)]21(cos[n)(H0)(H)(zH)]21(cos[n173、h(n)奇对称，N为奇数上式表明，在时，，相当于在z=1和z=-1有两个零点，并且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。2,,0)(H0)(H)(zH)sin(n2,,02,,0∴这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。2,,021,,2,1),21(2)()sin()()(2/)1(1NnnNhncnncHNn∵对为奇对称，∴21N0)21(Nh)(nh184、h(n)奇对称，N为偶数2,,2,1),2(2)(])21sin[()()(2/1NnnNhndnndHNn∴这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。2,0上式表明：当时，，相当于在z=1处有一个零点；并且由于对呈奇对称、对呈偶对称，因而也对呈奇对称、对呈偶对称。2,0)(H0)(H)(zH])2/1sin[(n2,02,019四、零点位置()0iHz**,1/iizz即也是h(z)的零点(1)1()()NHzzHz得：由1、若H(z)零点是zi，则zi-1也是2、由于h(n)是实数，H（z）的零点必然是以共轭对存在的。(1)1()()0NiiiHzzHz线性相位FIR数字滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。2010ijiiiizrer或3）仅在单位圆上iijjee零点：10ijiiiizrer或4）仅在实轴上1iirr零点：10ijiiiizrer或1）不在实轴和单位圆上11iiiijjjjiiiirereeerr零点：10ijiiiizrer或2）在实轴和单位圆上1零点：10ijiiiizrer或217.3窗函数设计法(傅里叶级数法)一、设计思想：在时域，设计h(n)逼近hd(n)()jdHe1()2jjnddhnHeed()()()dhnwnhn选择窗口的形状和长度是窗函数法的关键。逼近先给出所要求的理想滤波器的频率响应要求设计FIR滤波器的频率响应傅里叶反变换无限长的序列，非因果的有限长的窗函数序列w(n)：截断10()()NjjnnHehne22设低通滤波器的频率响应为：()0,jjccdcceHesin[()]1()()2/ccccjjncdcnnnhneedn以理想低通滤波器为例说明其设计过程。ωc截止频率，α群延迟，在截止频率内，Hd(ejω)的幅度是均匀的，值为1，中心点在α的偶对称无限长非因果序列。23理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取241sin201120cccNnnNhnNnn得：其它()01()()()0ddhnnNhnhnwnn其它则FIR滤波器的单位抽样响应：12N按第一类线性相位条件，得sin[()]()()ccdcnhnn代入25FIR滤波器的频率响应1112001()2sin2()()sin2()NNNjjjnjnRnnNjRNWewneeeWe矩形窗频率响应sin2()sin2RNW其中幅度函数：主瓣旁瓣旁瓣在ω=±2π/N之内为一个主瓣，两侧形成许多振荡的旁瓣。26)21()()()(NjdjdjdeHeHeHccdH01)(Hedj()将理想低通滤波器的频率响应表示为：幅度函数：11()20()()()NNjjjnRRnWewneWe12时域乘积1()2jjjdHeHeWed()()()dhnhnwn频域卷积将1和3代入2327deWeHeHjRjdj)()()(21)(dWHeRdj)()(21H())(jeHdWHHRd)()(21)(若用代表所设计的低通滤波器的幅度响应，则:可见：设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积（过程见下图）FIR滤波器的频率响应：28ω=ωcω=ωc-2π/Nω=ωc+2π/Nω=0归一化H(0)=1H(ω)/H(0)=0.5正肩峰负肩峰•Δω=4π/NdWHHRd)()(21)(29加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点影响：1、使理想频率特性不连续点边沿形成过渡带，宽度为窗函数频响主瓣宽度Δω=4π/N2、在截止频率的两边，即的地方，H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，振荡的多少取决于旁瓣的多少。2cN30若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为：WNNNxxR()sin(/)sin(/)sin(/)/sin2222随着x加大，函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。这个相对比例由sinx/x决定,即由矩形窗函数的形状决定。加窗的影响因而，当长度N增加时，只会减小过渡带宽(4π/N)，而不会改变肩峰的相对值。31在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，4π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是8.95%，这就是吉布斯(Gibbs)效应。为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其他类型的窗函数，对进行加窗处理。wn()hnd()32二、各种窗函数1、三角形窗(Bartlett巴特列特Window)121,122210,12)(NnNNnNnNnnw212])2/sin()4/sin([2)(NjjeNNeW窗谱：主瓣宽度为：N/833)()]12cos(1[21)(nRNnnwN)]12()12([25.0)(5