专题9-圆的综合题

第二部分中考专题突破专题九圆的综合题专题概述典题剖析真题演练数学专题九圆的综合题圆的综合题在中考中主要有三个方面的考查点：一是圆的基本元素的考查，包括运用垂径定理的有关计算，运用圆周角定理及推论的有关证明及计算，还可能与三角形的相似和解直角三角形相联系；二是切线的证明与计算，也往往与三角形的相似和锐角三角函数相联系；三是与面积相关的计算，注意扇形的面积计算公式的熟练应用．解决此类问题的方法灵活，三角形的全等与相似、中位线等等都是在题目中常用的方法，在解题时要学会抓解题的线索，层层深入来解决题目．专题概述数学专题九圆的综合题典题剖析(2017·呼和浩特)如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧BD︵的中点，AC与BD交于点E.(1)求证：DC2＝CE·AC．(2)若AE＝2，EC＝1，求证：△AOD是正三角形．(3)在(2)的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．数学专题九圆的综合题分析：(1)由圆周角定理得出∠DAC＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；(2)求出DC＝3，连接OC，OD，如图，证出BC＝DC＝3，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由勾股定理得出AB＝AC2＋BC2＝23，得出OB＝OC＝OD＝DC＝BC＝3，证出△OCD，△OBC是正三角形，得出∠COD＝∠BOC＝∠OBC＝60°，求出∠AOD＝60°，即可得出结论；(3)由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H＝30°，证出∠H＝∠BAC，得出AC＝CH＝3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案．数学专题九圆的综合题解答：(1)证明：∵C是劣弧BD︵的中点，∴∠DAC＝∠CDB．∵∠ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE.∴ACDC＝CDCE.∴DC2＝CE·AC．数学专题九圆的综合题(2)证明：∵AE＝2，EC＝1，∴AC＝3.∴DC2＝CE·AC＝1×3＝3.∴DC＝3.如图，连接OC，OD．∵C是劣弧BD︵的中点，∴OC平分∠DOB，BC＝DC＝3.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴AB＝AC2＋BC2＝23.∴OB＝OC＝OD＝DC＝BC＝3.∴△OCD，△OBC是正三角形．∴∠COD＝∠BOC＝∠OBC＝60°.∴∠AOD＝180°－2×60°＝60°.∵OA＝OD，∴△AOD是正三角形．数学专题九圆的综合题(3)解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH.∵∠COH＝60°，∴∠H＝30°.∵∠BAC＝90°－60°＝30°，∴∠H＝∠BAC．∴AC＝CH＝3.∴AH＝33，AH上的高＝BC·sin60°＝32.∴△ACH的面积＝12×33×32＝934.数学专题九圆的综合题点评：圆的综合题目，经常考查圆的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定等知识，题目综合性强，有一定难度．数学专题九圆的综合题(2018·抚顺)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若BE＝4，DE＝8，求AC的长．数学专题九圆的综合题分析：(1)欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；(2)设⊙O的半径为r.在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2＋OB2，可得(8－r)2＝r2＋42，推出r＝3，由tanE＝OBEB＝CDDE，推出34＝CD8，可得CD＝BC＝6，再利用勾股定理即可解决问题．数学专题九圆的综合题解答：解：(1)CD与⊙O相切．理由：如图，连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD(SSS)．∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∴OD⊥DC．∴DC是⊙O的切线．数学专题九圆的综合题(2)设⊙O的半径为r.在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2＋OB2，∴(8－r)2＝r2＋42.∴r＝3.∵tanE＝OBEB＝CDDE，∴34＝CD8.∴CD＝BC＝6.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝62＋62＝62.数学专题九圆的综合题点评：考查直线与圆的位置关系时，圆的有关结论如圆周角定理，计算时勾股定理、锐角三角函数等知识的应用是关键，但有时添加合适的辅助线也是解题的关键，属于中考常考题型．数学专题九圆的综合题真题演练1．(2017·苏州)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F.(1)求证：△DOE∽△ABC．(2)求证：∠ODF＝∠BDE.(3)连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1S2＝27，求sinA的值．数学专题九圆的综合题(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°.∴∠DEO＝∠ACB.∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠ABC.∴△DOE∽△ABC.(2)证明：∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A.∵∠A和∠BDC是BC︵所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC.∴∠ODE＝∠BDC.∴∠ODF＝∠BDE.数学专题九圆的综合题(3)解：∵△DOE∽△ABC，∴S△DOES△ABC＝ODAB2＝14，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1.∵OA＝OB，∴S△BOC＝12S△ABC，即S△BOC＝2S1.∵S1S2＝27，S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋S1＋S△DBE，∴S△DBE＝12S1.∴BE＝12OE，即OE＝23OB＝23OD.∴sinA＝sin∠ODE＝OEOD＝23.数学专题九圆的综合题2．(2017·赤峰)如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°.(1)求证：AM是⊙O的切线．(2)若DC＝2，求图中阴影部分的面积．(结果保留π和根号)数学专题九圆的综合题(1)证明：∵∠B＝60°，∴△BOC是等边三角形．∴∠1＝∠2＝60°.∵OC平分∠AOB，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3.∴OA∥BD.∵∠BDM＝90°，∴∠OAM＝90°.∴AM是⊙O的切线．数学专题九圆的综合题(2)解：如图，连接AC.∵∠3＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．∴∠OAC＝60°.∵∠OAM＝90°，∴∠CAD＝30°.∵CD＝2，∴AC＝2CD＝4.∴AD＝23.∴S阴影＝S梯形OADC－S扇形OAC＝12×(4＋2)×23－60·π×16360＝63－8π3.数学专题九圆的综合题3．(2018·泰州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝33，DF＝3，求图中阴影部分的面积．数学专题九圆的综合题解：(1)DE与⊙O相切．理由：连接DO.∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD.∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD＝∠DBO.∴∠EBD＝∠BDO.∴DO∥BE.∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°.∴DE与⊙O相切．数学专题九圆的综合题(2)∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.∵BE＝33，∴BD＝32＋332＝6.∵sin∠DBF＝36＝12，∴∠DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.∴sin60°＝DFDO＝3DO＝32.∴DO＝23.则FO＝3.故图中阴影部分的面积为60π×232360－12×3×3＝2π－332.数学专题九圆的综合题4．(2017·武汉)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D．(1)求证：AO平分∠BAC．(2)若BC＝6，sin∠BAC＝35，求AC和CD的长．数学专题九圆的综合题(1)证明：如图，连接BO.∵AB＝AC，OB＝OC＝OA，∴△AOB≌△AOC(SSS)．∴∠BAO＝∠CAO.∴AO平分∠BAC.数学专题九圆的综合题(2)解：如图，延长AO交BC于点H，延长CD交⊙O于点E，连接BE，则CE是⊙O的直径．∴∠EBC＝90°，BC⊥BE.∵∠E＝∠BAC，∴sinE＝sin∠BAC.∴BCCE＝35.∴CE＝53BC＝10.∴BE＝CE2－BC2＝8，OA＝OE＝12CE＝5.∵AB＝AC，AO平分∠BAC，∴AH⊥BC.∴BE∥OA.∴OABE＝ODDE，即58＝OD5－OD.解得OD＝2513.∴CD＝5＋2513＝9013.∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位线．∴OH＝12BE＝4，CH＝12BC＝3.∴AH＝5＋4＝9.在Rt△ACH中，AC＝AH2＋CH2＝92＋32＝310.数学专题九圆的综合题5．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.(1)求证：BC是⊙F的切线．(2)若点A，D的坐标分别为A(0，－1)，D(2,0)，求⊙F的半径．(3)试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．数学专题九圆的综合题(1)证明：如图，连接EF.∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE.∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA.∴∠FEA＝∠EAC.∴FE∥AC.∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切线．(2)解：如图，连接FD.设⊙F的半径为r，则r2＝(r－1)2＋22，解得r＝52，即⊙F的半径为52.数学专题九圆的综合题(3)解：AG＝AD＋2CD.证明：如图，作FR⊥AD于点R，则∠FRC＝90°.又∵∠FEC＝∠C＝90°，∴四边形RCEF是矩形．∴EF＝RC＝RD＋CD.∵FR⊥AD，∴AR＝RD.∴EF＝RD＋CD＝12AD＋CD.∴AG＝2FE＝AD＋2CD.数学专题九圆的综合题6．(2018·湖北)如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM.(1)判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．数学专题九圆的综合题解：(1)CM与⊙O相切．理由：如图，连接OC.∵GD⊥AO于点D，∴∠G＋∠GBD＝90°.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵M点为GE的中点，∴MC＝MG＝ME.∴∠G＝∠1.∵OB＝OC，∴∠B＝∠2.∴∠1＋∠2＝90°.∴∠OCM＝90°.∴OC⊥CM.∴CM为⊙O的切线．数学专题九圆的综合题(2)∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠5.∵∠1＝∠G，∠5＝∠A，∴∠G＝∠A.∵∠4＝2∠A，∴∠4＝2∠G.∵∠EMC＝∠G＋∠1＝2∠G，∴∠EMC＝∠4.∵∠FEC＝∠CEM，∴△EFC∽△ECM.∴EFCE＝CEME＝CFCM，即EFCE＝CE6＝46.∴CE＝4，EF＝83.∴MF＝ME－EF＝6－83＝103.数学专题九圆的综合题7．(2017·毕节)如图，已知⊙O的直径CD＝6，A，B为圆周上的两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于点G.(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)求AE的长．数学专题九圆的综合题(1)证明：∵CD为直径，∴∠DBC＝90°.∴BD⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形，∴AO∥BC.∴BD⊥OA.∵EF∥BD，∴OA⊥EF.∴EF是⊙O的切线．数学专题九圆的综合题(2)解：如图，连接OB.∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC.∵OB＝OC＝OA，∴OB＝OC＝BC.∴△OBC为等边三角形．∴∠C＝60°.∴∠AOE＝∠C＝60°.在Rt△OAE中，∵tan∠AOE＝AEOA，∴AE＝3