概率统计复习——大连理工

数理统计学概率论与数理统计背景概率统计是研究什么的？客观世界中发生的现象•确定性的——在一定条件下必然发生的现象1)抛出物体会下落。2)充满气的气球受到挤压会破。•随机性的——在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果1)拋掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面朝下。2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负。3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点。4)股市的变化。5)人的寿命。•经典的数学理论如微积分、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。•对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。•随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。•概率统计——研究和揭示随机现象统计规律性的学科应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。•经典数学与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。第一章概率论的基本概念•随机事件及其运算•频率与概率1.1随机试验、样本空间、随机事件一、随机试验（简称“试验”）随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果;满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地面上的位置；E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。随机试验的例子二、样本空间1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E的样本空间，记为S或Ω；2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为e。三、随机事件例将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：(1,1)(1,2)(1,6)(2,1)(2,2)(2,6)(6,1)(6,2)(6,6)S•其中有36个可能的结果，即36个样本点。•每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}，A是S的子集。类似地，B={(1,1),(2,2),…,(6,6)}，B也是S的子集。1、随机事件——随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C…表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。当一个事件仅包含一个样本点时，称为基本事件2、两个特殊事件必然事件S——包含所有的样本点，每次试验它总是发生不可能事件Φ——空集，不包含任何样本点，每次试验总是不发生1.事件的包含与相等•A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。•A与B两个事件相等：A＝BAB且BA。四、事件之间的关系2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作A∪B2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作iniA12”可列个事件A1,A2,…,An…至少有一个发生，记作inA13.积事件:A与B同时发生，记作A∩B＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作nniiAAAA2113”可列个事件A1,A2,…,An,…同时发生，记作nniAAAA2114.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。5.互斥的事件：AB=Φ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。基本事件是两两互不相容的6.互逆的事件A∪B＝,且AB＝;BAAABAB记作，称为的补事件易见A与B互逆：事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。五、事件的运算1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)4、对偶(DeMorgan)律：.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广1.2频率与概率•一、频率定义1.设在相同的条件下，进行了n次试验。若随机事件A在这n次试验中发生了nA次,则比值nnA称为事件A在这n次试验中发生的频率，记作fn(A)，即fn(A)=nnA实践证明：当试验次数n增大时，随机事件A的频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。二、概率从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性1、概率的统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0≤P(A)≤1,P(S)=1，P(φ)=0。设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)具有如下性质：①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0；②规范性：P(S)=1；③可列可加性：若A1，A2，…，An，…是两两互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…则称P(A)为事件A的概率。2、概率的公理化定义3、概率的性质①不可能事件的概率为零，即P(φ)=0；②概率具有有限可加性，即若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则必有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)③设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)≥P(B)，此性质称为单调不减性。)(1)(APAP④互补性对任一事件A，有⑤加法公式对任意两个事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)可推广。⑥可分性对任意两事件A，B，有)()()(BAPABPAP二、条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率，记为)()()|(BPABPBAP乘法法则)()|()(BPBAPABP)()|()(APABPABP全概率公式：贝叶斯公式：niiiABPAPBP1)|()()(niiimmmABPAPAPABPBAP1)|()()()|()|(二、事件的独立性两个事件的独立()()()PABPAPB第二章随机变量及其分布•随机变量•离散型随机变量•随机变量的分布函数•连续型随机变量•随机变量函数的分布•用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（高等数学）微积分的方法来讨论随机试验。•在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果e，都有一个实数X(e)与之对应，试验的结果e实数X(e)对应关系XX的取值随着试验的重复而不同，X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们称X为随机变量。•关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．•对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．•随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点2.1随机变量的概念定义2.1设E是一个随机试验，S={e}是试验E的样本空间，如果对于S中的每一个样本点e，有一实数X(e)与之对应，这个定义在S上的实值函数X(e)就称为随机变量。由定义可知，随机变量X(e)是以样本空间S为定义域的一个单值实值函数。有关随机变量定义的几点说明：(1)随机变量X是样本点e的函数，常用大写字母X、Y、Z或小写希腊字母、、等表示。(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的概率是确定的；(3)随机变量X(e)的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。离散型连续型混合型随机变量的分类：随机变量2.2离散型随机变量一、离散型随机变量及其分布律1、离散型随机变量的概念若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。2、分布律设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1,x2,…,xk,…,且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pk,…,即则称P(X=xk)=pk(k=1,2,…)为随机变量X的概率分布律（列），简称分布律。分布律可用表格形式表示为：11)(kkkkpxXP1P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)满足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律1、(0-1)分布若随机变量X的分布律为：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0p1)则称X服从以p为参数的0-1分布，记为X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可写成X10Pp1-p即随机变量只可能取0，1两个值，且取1的概率为p，取0的概率为1-p(0p1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为S={e1,e2},我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量发生时当发生时当2101eeX即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。2、二项分布(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。设随机试验满足：1°在相同条件下进行n次重复试验；2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；4°各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p，发生的概率为1-p=q。A(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即个个个个个个kknknkknkAAAAAAAAAAAAAAAAAA11这里每一项表示k次试验中出现A，而另外n-k次试验中出现，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。A由4°独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此nkqpCkXPknkkn,,2,1,0,)(此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为)-1(;,;pqnkqpCpnkBknkkn,,2,1,0,)(（2）二项分布定义若随机变量X具有概率分布