高中数学必修一对数函数

试卷第1页，总11页高中数学必修一对数函数卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）1.若对数式log（𝑡−2）3有意义，则实数𝑡的取值范围是（）A.[2, +∞)B.(2, 3)∪(3, +∞)C.(−∞, 2)D.(2, +∞)2.函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥2−𝑎𝑥)(𝑎0, 𝑎≠1)在[2, 3]为增函数，则𝑎的取值范围是（）A.(1, +∞)B.(0, 1)C.(0, 1)∪(1, 2)D.(1, 2)3.已知2𝑥=3𝑦，则𝑥𝑦=()A.lg2lg3B.lg3lg2C.lg23D.lg324.若log𝑎(2𝑥−1)log𝑎(𝑥−1)，则有（）A.0𝑎1，𝑥0B.0𝑎1，𝑥1C.𝑎1，𝑥0D.𝑎1，𝑥15.对数式log𝑎𝑏=𝑥化为指数式为（）A.𝑎𝑏=𝑥B.𝑎𝑥=𝑏C.𝑥𝑎=𝑏D.𝑥𝑏=𝑎6.已知函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3)，则使𝑓(𝑥)为减函数的区间是（）A.(−∞, −1)B.(−1, 0)C.(1, 2)D.(−3, −1)7.对数式log（𝑎−2）(5−𝑎)中实数𝑎的取值范围是()A.(−∞, 5)B.(2, 5)C.(2, 3)∪(3, 5)D.(2,+∞)8.已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎 1−𝑚𝑥𝑥−1(𝑎0，且𝑎≠1)在其定义域上是奇函数，则𝑚=()A.1−32B.−1C.−23D.−32试卷第2页，总11页9.设𝑎0，则lg100𝑎−lg𝑎100()A.1B.2C.3D.410.三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为()A.0.76log0.7660.7B.0.7660.7log0.76C.log0.7660.70.76D.log0.760.7660.711.已知𝑓(𝑥)=log2𝑥，函数𝑦=𝑔(𝑥)是它的反函数，则函数𝑦=𝑔(1−𝑥)的大致图象是．（）A.B.C.D.12.据资料显示，可观测宇宙中普通物质的原子总数𝑁≈1080，某两状态空间复杂度的上限分别为𝑀=1016，𝐸=2480，则（参考数据：lg2≈0.3)()A.𝑀𝐸=12𝑁B.𝑀𝐸=2𝑁C.𝑀𝐸=𝑁2D.𝑀𝐸=√𝑁卷II（非选择题）二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分，）13.若3𝑎=2，𝑏=log23，则𝑎𝑏=________，2𝑏+2−𝑏=________.14.比较大小：212_______log32(填或).试卷第3页，总11页15.对数函数𝑓(𝑥)的图象经过点(14, 2)，则𝑓(𝑥)=________．16.完成下列空格：函数𝑦=𝑓(𝑥)𝑦=𝑓−1(𝑥)𝑦=𝑓−1(𝑥)𝑦=𝑓(𝑥)𝑦=3𝑥________𝑦=2𝑥3𝑥−1________定义域(−∞, +∞)________(−∞, 13)∪(13, +∞)________值域(−∞, +∞)________(−∞, 23)∪(23, +∞)________17.函数𝑓(𝑥)=log12(−𝑥2+4𝑥−3)的定义域为________．18.设函数𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)的定义域分别为𝑀，𝑁，且𝑀⊆𝑁，若对任意的𝑥∈𝑀，都有𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)，则称𝑔(𝑥)是𝑓(𝑥)的“拓展函数”．已知函数𝑓(𝑥)=13log2𝑥，若𝑔(𝑥)是𝑓(𝑥)的“拓展函数”，且𝑔(𝑥)是偶函数，则符合条件的一个𝑔(𝑥)的解析式是________．三、解答题（本题共计5小题，每题12分，共计60分，）19.函数𝑦=1𝑜𝑔𝑎𝑥在𝑥∈[1, 16]的最大值比最小值大4，求𝑎的值．20.设𝑓(𝑥)=(log2𝑥)2−2𝑎log2𝑥+𝑏(𝑥0)．当𝑥=14时，𝑓(𝑥)有最小值−1．(1)求𝑎与𝑏的值；(2)求满足𝑓(𝑥)0的𝑥的取值范围．21.（1）求值：lg2⋅lg50+lg5⋅lg20−lg100⋅lg5⋅lg2；21.（2）已知log73=𝑎，log74=𝑏，求log4948．试卷第4页，总11页22.设𝑎0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−2𝑎)+log𝑎(𝑥−3𝑎)的定义域为[𝑎+3, 𝑎+4]．（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单凋性；（2）若𝑓(𝑥)≤1恒成立，求实数𝑎的取值范围．23.已知函数𝑓(𝑥)=log4(𝑎𝑥2+2𝑥+3)．(1)若𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，求实数𝑎的取值范围；(2)若𝑓(1)=1，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(3)是否存在实数𝑎，使得函数𝑓(𝑥)的最小值为0？若存在，求出𝑎的值；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总11页高中数学必修一对数函数参考答案与试题解析一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.【考点】对数及其运算【解答】解：要使对数式log（𝑡−2）3有意义，须{𝑡−20𝑡−2≠1；解得𝑡2且𝑡≠3，∴实数𝑡的取值范围是(2, 3)∪(3, +∞)．故选：𝐵．2.【考点】对数函数的单调性与特殊点【解答】解：𝑥2−𝑎𝑥的对称轴为𝑥=𝑎2，由题意可得，当𝑎1时，𝑎2≤2，且4−2𝑎0，∴1𝑎2．当1𝑎0时，𝑎2≥3，且9−3𝑎0，故𝑎无解．综上，1𝑎2，故选𝐷．3.【考点】换底公式的应用指数式与对数式的互化【解答】解：2𝑥=3𝑦，可得𝑥lg2=𝑦lg3，∴𝑥𝑦=lg3lg2．故选：𝐵．4.【考点】对数函数的单调性与特殊点【解答】解：当𝑎1时，由log𝑎(2𝑥−1)log𝑎(𝑥−1)，可得{2𝑥−1𝑥−1𝑥−10，求得𝑥1；试卷第6页，总11页当0𝑎1时，由log𝑎(2𝑥−1)log𝑎(𝑥−1)，可得{2𝑥−1𝑥−12𝑥−10，求得𝑥无解．故选：𝐷．5.【考点】指数式与对数式的互化【解答】解：对数式log𝑎𝑏=𝑥化为指数式为：𝑎𝑥=𝑏，故选𝐵.6.【考点】对数函数的单调区间【解答】解：由𝑥2−2𝑥−30解得，𝑥3或𝑥−1，则函数的定义域是(−∞, −1)∪(3, +∞)，令𝑦=𝑥2−2𝑥−3=(𝑥−1)2−4，即函数𝑦在(−∞, −1)是减函数，在(3, +∞)是增函数，∵函数𝑦=log2𝑥在定义域上是增函数，∴函数𝑓(𝑥)的减区间是(−∞, −1)．故选𝐴．7.【考点】对数函数的定义【解答】解：由log（𝑎−2）(5−𝑎)可得{5−𝑎0,𝑎−20,𝑎−2≠1,解得{𝑎5,𝑎2,𝑎≠3,即实数𝑎的取值范围是2𝑎3或3𝑎5,故选𝐶．8.【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解答】解：∵函数𝑓(𝑥)=log𝑎 1−𝑚𝑥𝑥−1(𝑎0，且𝑎≠1)在其定义域上是奇函数，∴𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0，即log𝑎 1+𝑚𝑥−𝑥−1+log𝑎 1−𝑚𝑥𝑥−1=0试卷第7页，总11页∴1+𝑚𝑥−𝑥−1×1−𝑚𝑥𝑥−1=1∴1−𝑚2𝑥2=1−𝑥2∴𝑚2=1∴𝑚=±1当𝑚=1时，1−𝑚𝑥𝑥−1=−1，不合题意；当𝑚=−1时，𝑓(𝑥)=log𝑎 1+𝑥𝑥−1，符合题意故选𝐵．9.【考点】对数的运算性质【解答】解：∵𝑎0，∴lg100𝑎−lg𝑎100=lg100+lg𝑎−lg𝑎+lg100=2lg100=4．故选𝐷．10.【考点】指数函数与对数函数的关系【解答】解：由对数函数𝑦=log0.7𝑥的图象和性质,可知：log0.760.由指数函数𝑦=0.7𝑥，𝑦=6𝑥的图象和性质,可知00.761，60.71.∴log0.760.7660.7.故选𝐷.11.【考点】对数函数的图象与性质【解答】解：由于函数𝑦=𝑔(𝑥)是𝑓(𝑥)=log2𝑥的反函数，故𝑔(𝑥)=2𝑥，可得𝑔(1−𝑥)=21−𝑥，故选𝐷．12.【考点】对数及其运算【解答】解：由恒等式10lg2=2可得，𝑀𝐸=1016×2480=1016×(10lg2)480=1016×(100.3)480=10160=𝑁2.故选𝐶.二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）13.【考点】试卷第8页，总11页换底公式的应用指数式与对数式的互化【解答】解：由题意得𝑎=log32，𝑏=log23，𝑎𝑏=log32⋅log23=1，2𝑏+2−𝑏=2log23+12log23=3+13=103.故答案为：1，103.14.【考点】指数式、对数式的综合比较【解答】解：212=√2.1√22.log321,故212log32.故答案为：.15.【考点】对数函数的定义【解答】解：设数函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎0且𝑎≠1),∵图象经过点(14, 2)，∴𝑙𝑜𝑔𝑎14=2,得𝑎=12,∴𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔12𝑥,故答案为𝑙𝑜𝑔12𝑥.16.【考点】反函数【解答】解：①由𝑦=3𝑥解得𝑥=13𝑦，再将𝑥与𝑦互换即可得出反函数𝑦=13𝑥．可知定义域与值域都为𝑅．试卷第9页，总11页②由𝑦=2𝑥3𝑥−1解得𝑥=𝑦3𝑦−2，再将𝑥与𝑦互换即可得出原函数𝑦=𝑥3𝑥−2．可知定义域与值域分别为反函数的值域与定义域．故答案为如下表格：函数𝑦=𝑓(𝑥)𝑦=𝑓−1(𝑥)𝑦=𝑓−1(𝑥)𝑦=𝑓(𝑥)𝑦=3𝑥𝑦=13𝑥𝑦=2𝑥3𝑥−1𝑦=𝑥3𝑥−2定义域(−∞, +∞)𝑅(−∞, 13)∪(13, +∞)(−∞,23)∪(23,+∞)值域(−∞, +∞)𝑅(−∞, 23)∪(23, +∞)(−∞,13)∪(13,+∞)17.【考点】对数函数的定义域【解答】解：由函数𝑓(𝑥)=log12(−𝑥2+4𝑥−3)可得−𝑥2+4𝑥−30，即𝑥2−4𝑥+30，解得1𝑥3，故答案为(1, 3)．18.【考点】求对数函数解析式【解答】解：𝑓(𝑥)=13log2𝑥的定义域𝑀=(0, +∞)，𝑔(𝑥)=13log2|𝑥|的定义域𝑁=(−∞, 0)∪(0, +∞)，满足𝑀⊆𝑁，又当𝑥0时，𝑔(𝑥)=13log2|𝑥|=13log2𝑥=𝑓(𝑥)，故𝑔(𝑥)=13log2|𝑥|是𝑓(𝑥)的“拓展函数”，故答案为：𝑔(𝑥)=13log2|𝑥|．三、解答题（本题共计5小题，每题12分，共计60分）19.【考点】对数函数的值域与最值【解答】解：当𝑎1时，𝑦=log𝑎𝑥在[1, 16]上最大值为log𝑎16，最小值为log𝑎1，由log𝑎16=4log𝑎2=4，得𝑎=2；当0𝑎1时，𝑦=log𝑎𝑥在[1, 16]上最大值为log𝑎1，最小值为log𝑎16，由log𝑎16=4log𝑎2=−4，得𝑎=12．试卷第10页，总11页所以𝑎的值为12或2．20.【考点】对数函数的单调区间对数及其运算【解答】解：(1)𝑓(𝑥)=(log2𝑥)2−2𝑎log2𝑥+𝑏=(log2𝑥−𝑎)2+𝑏−𝑎2(𝑥0)，当𝑥=14时，𝑓(𝑥)有最小值−1，∴{log214=𝑎𝑏−𝑎2=−1，解得：{𝑎=−2𝑏=3；(2)由(1)得：𝑓(𝑥)=(log2𝑥)2+4log2𝑥+3，𝑓(𝑥)0即(log2𝑥+3)(log2𝑥+1)0，解得：18𝑥12．21.【考点】对数的运算性质【解答】解：（1）原式=lg2⋅(lg