搜索
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4，０），∴1(232)BC，，，(010)CD，，．设1BC与CD所成的角为，则11317cos17BCCDBCCD．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知2AB，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝3．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系．由于BC＝1，BB1＝2，AB＝2，∠BCC1＝3，∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，2）、B1（０，2，０）、31022c，，、133022C，，．设302Ea，，且1322a，由EA⊥EB1，得10EAEB，即3322022aa，，，，233(2)2044aaaa，∴13022aa，即12a或32a（舍去）．故31022E，，．由已知有1EAEB，111BAEB，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量11BA与EA的夹角．因11(002)BABA，，，31222EA，，故11112cos3EABAEABA，即2tan2三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，3），∴AB＝（０，2，０），VA＝（1，０，－3）．由(020)(103)0ABVA，，，，，得AB⊥VA．又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，∴AB⊥平面VAD；（2）设E为DV的中点，则13022E，，∴33022EA，，，33222EB，，，(103)DV，，．∴332(103)022EBDV，，，，，∴EB⊥DV．又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．∴21cos7EAEBEAEBEAEB，．故所求二面角的余弦值为217．四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．（1）求∠DEB的余弦值；（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、222aahE，，∴3222ahBEa，，，3222ahDEa，，．∴22226cos10BEDEahBEDEahBEDE，，即22226cos10ahDEBah∠；（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，所以0BEVC，即3()0222ahaaah，，，，，∴22230222aha，∴2ha．这时222261cos103ahBEDEah，，即1cos3DEB∠．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线CADBQP，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQPB，，，，，，1cos3AQPBAQPBAQPB，．所求异面直线所成的角是1arccos3．（3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)DADPQ，，，，，，，，．设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则00AQAD，，nn得200xzxy，，取x＝1，得(112)，，n=．点P到平面QAD的距离22PQdnn．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．