专题-高考中的抽象函数-教师版

高考中的抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或)y(f)x(f)yx(f]指数函数f(x)=ax(a0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[)y(f)x(f)yx(f或]对数函数f(x)=logax(a0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[)]y(f)x(f)yx(f或正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f一.定义域问题--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x－1）的定义域为11x。解：f(x)的定义域是2,2，意思是凡被f作用的对象都在2,2中。评析：已知f(x)的定义域是A，求xf的定义域问题，相当于解内函数x的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是2,1，求函数xf3log21的定义域。例2：已知函数xf3log的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。11log,13评析：已知函数xf的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数x的值域。二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2fnfnfynx得令令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n故即练习：1.f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则(2)f（12）2.(2)(4)(6)(2000)()()(),(1)2,(1)(3)(5)(1999)fffffxyfxfyfffff如果且则的值是。20002(1)(2)(1)fff222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff.(()2nfn,原式=16)3、对任意整数yx,函数)(xfy满足：1)()()(xyyfxfyxf，若1)1(f，则)8(fCA.-1B.1C.19D.43四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例4.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1(0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1(0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1(0≤u≤2)例5.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x(x∈N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例6、已知)(xf是定义在R上的偶函数，且)21()23(xfxf恒成立，当3,2x时，xxf)(，则)0,2(x时，函数)(xf的解析式为（D）A．2xB．4xC．12xD．13x解：易知T=2，当)1,2(x时,3,24x,∴)(4)4(xfxxf;当)0,1(x时3,22x,∴)()(2)2(xfxfxxf.故选D。五、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）例7.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)f(x1).（∵x2-x10,∴f(x2-x1)0）所以f(x)是R上的减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.六、奇偶性问题例8.（1）已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（D）A.x=1B.x=2C.x=－21D.x=21解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。例9：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：)(xf在),0(上减，而0122aa，01232aa，所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得30a。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(afaffaf或等；也可将定义域作一些调整）七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周期性对称性1axfaxf→T=2aaxfaxf→对称轴axyfxa是偶函数；axfaxf→对称中心（a,0）yfxa是奇函数2xbfxaf→T=abxbfxaf→对称轴2bax；xbfxaf→对称中心)0,2(ba；3f(x)=-f(x+a)→T=2af(x)=-f(-x+a)→对称中心0,2a4xbfxaf→T=2abxbfxaf→对称中心0,2ba5f(x)=±xf1→T=2af(x)=b-f(-x+a)→对称中心2,2ba6f(x)=1-0)(1xfaxf→T=3a结论：(1)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|(4)应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2abx对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例10：①已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=–f(x)，则f(6)的值为（B）A.–1B.0C.1D.2解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又T=4，所以f(6)=f(2)=–f(0)=0。②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。（x=1/2）（重庆）已知函数fx满足：114f，4,fxfyfxyfxyxyR，则2010f=_____________.解析：取x=1y=0得21)0(f法一：通过计算)........4(),3(),2(fff，寻得周期为6例11.奇函数f(x)定义在R上，且对常数T0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间［0，2T］上，方程f(x)=0根的个数最小值为（）A.3个B.4个C.5个D.6个解：∵f(0)=0→x1=0，又f(2T)=f(T)=f(0)=0→x2=T，x3=2T.又因为22TxfTxf令x=0得222TfTfTf,∴232TfTf=0.(本题C易错选为A)例12．①f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。解：∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)关于（3，0）对称又∵f(x)=f(2-x)∴f(x)关于x=1对称∴T=8∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6练习1、函数)1(xfy是偶函数，则)(xfy的图象关于x=1对称。2、函数)(xfy满足)(1)3(xfxf，且1)3(f，则)2010(f-1。3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且11()()22fxfx,则(1)(2)(3)(4)(5)fffff解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0.小结：此方法为数形结合法4.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=—f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)=-0.55、f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（D）A.4B.5C.6D.76、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x[2,3]时f(x)=2x,求当x[1,2]时,f(x)的解析式.解:由已知得f(x)=-f(4-x)①又当x[1,2]时,4-x[2,3],∴f(4-x)=(4-x)-2(4-x)②∴由①②得f(x)=-(x-4)+2(4-x)∴当x[1,2]时,f(x)=-x+6x-87、（山东）已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234_________.xxxx-8