应力理论

高等弹性理论－2第2章应力理论上一讲主要内容：绪论上一讲基本要点力学的定义弹性定义及其物理来源与其它力学课程的关系弹性理论发展简史基本假定研究特点基本概念和方法理论体系实际应用张量分析基础张量的基本概念符号ij与erst坐标与坐标转换张量代数，微分和积分,商法则常用特殊张量建立符号体系明确意义应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程问题描述建立模型模型应用外力、内力与应力Chapter3.1外力问题描述-分类-明确已知未知外力、内力与应力Chapter3.1外力体力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。面力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力，固体接触传递的压力等。-分类-准确定义概念变量外力、内力与应力Chapter3.1定义式体力：0limVVFfVF概念的描述：准确（共同认识）、全面（一般性）、精炼外力、内力与应力Chapter3.1定义式0limSSPX面力：SP•面的方向已知•力的大小方向作用点已知外力、内力与应力Chapter3.1内力•载荷作用下物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。•载荷作用下物体产生变形，变形改变了分子间距，在物体内形成一个附加的内力场。当这个内力场足以和外力相平衡时，物体达到稳定平衡状态。•内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。•应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。S外力、内力与应力Chapter3.1应力矢量（内应力矢量）问题：过弹性体内任意一点的内力如何描述？外力、内力与应力Chapter3.1()0limSSF若取为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力,也称柯西应力。SSS应力矢量：M点V法线面上的内力外力、内力与应力Chapter3.1应力矢量的定义外力、内力与应力Chapter3.1应力矢量的大小和方向不仅和M点的位置有关，而且和面元法线方向有关。作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。外力、内力与应力Chapter3.1()00limlimiiSiiSFSPXS应力矢量和面力矢量的数学定义和物理量纲都相同。区别在于：应力矢量是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力矢量也趋近于外加面力之值。内应力？一面上的应力矢量，一点的应力状态外力、内力与应力Chapter3.1正六面体微元:外法线与坐标轴同向的三个面称为正面，记为dSi，它们的单位法向矢量为i＝ei，ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。yzxo引入物体内一点的应力状态描述过该点任意斜截面上的应力矢量应力状态yzxo外力、内力与应力Chapter3.1yxyyyz()物体内一点的应力状态由过该点正六面体微元上的应力矢量在坐标方向分解的9个分量组成外力、内力与应力Chapter3.1x222x11131e1e2e3x3333213232112方向规定：正面上与坐标轴同向或负面上与坐标轴反向为正。亦即“受拉为正，受压为负”。外力、内力与应力Chapter3.1把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：(1)1111221331(2)2112222332(3)3113223333jjjjjjeeeeeeeeeeee()iijjex222x11131e1e2e3x3333213232112外力、内力与应力Chapter3.1(1)1111221331(2)2112222332(3)3113223333jjjjjjeeeeeeeeeeee共出现九个应力分量：111213212223313233()ij外力、内力与应力Chapter3.1111213212223313233()ij第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当i≠j时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程Chapter3.2斜截面上的应力x1x3x2111213212223313233()?柯西公式Chapter3.2柯西公式x1x3x2四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中为方向的方向余弦。112233iieeeecos(,)iiiee斜截面上的应力Chapter3.2()3()2()1()1x2x3x图2-4柯西公式柯西公式矢量可以用三个分量表示，有三个未知数Chapter3.2的面积为dS,则三个负面的面积分别为ABC111222333dd()ddd()ddd()dSOBCSSSOCASSSOABSSeee斜截面的面元矢量为：112233ddddSSSSeee柯西公式Chapter3.2()3()2()1()1x2x3x图2-4四面体的体积为：dh为顶点O到斜面的垂直距离13ddVhS柯西公式Chapter3.2()3()2()1()1x2x3x图2-4四面体上作用力的平衡条件是：(1)1(2)2(3)3()ddd1d(dd)03SSSSfhS第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：()1(1)2(2)3(3)1(1)2(2)3(3)()()()()eeeeee柯西公式Chapter3.2()112233()()jjjjjjijijeeeeeeee根据商判则，知必是一个二阶张量，于是定义应力张量ijijeeijijee柯西公式和任意矢量的内积(包括点积)为K-1阶张量的量一定是个K阶张量这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。Chapter3.2()()ijijee柯西公式应力张量及斜面法线就可以得到斜面的应力分量应力张量、应力状态概念必要性的证明Chapter3.2()把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为()()11()22()33()jjeeee()jiij()1111221331()2112222332()3113223333即柯西公式Chapter3.2柯西公式应用－计算斜截面上的应力斜面上应力的大小()1()2()3()()222()1/21/2iilikkil柯西公式Chapter3.2柯西公式应用－计算斜截面上的应力斜面上应力的方向即()n()1()2()1()2()3()3cos,;cos,cos,eee柯西公式Chapter3.2斜面正应力斜面剪应力()==nijij()n22n柯西公式应用－计算斜截面上的应力柯西公式Chapter3.2若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件：其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为xxyzxyxyzyxzyzzXlmnYlmnZlmnjiijp写成指标符号,,XYZ柯西公式应用－给定应力边界条件柯西公式应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程Chapter3.2应力转换公式应力分量转换公式新、老两个笛卡尔坐标系和坐标间转换关系为：mx0()mmiimxxxixcos,mmiimimixxee已知未知Chapter3.2考虑垂直于新轴的正截面，其法向矢量即为。mxme利用柯西公式，该截面上的应力为()();mmmjmiije是新正截面上的应力，对老坐标轴分解的结果。()mj()mjx应力转换公式正六面体的每一个面都是老坐标系下是一个斜面，法向矢量为坐标面法向Chapter3.2将对新坐标轴分解可以得到新坐标系中的应力分量：()mnx()mnmne()mmemnmneemmiieennjjeeklkleemnminjij应力转换公式新正六面体的每一个面都是老坐标系下是一个斜面，这个斜面上的应力在分解到新坐标下，就可以得到新坐标微元上的应力分量上式就是应力分量转换公式，简称转轴公式。Chapter3.2mnminjijmi1x2x3x1x2x3x1l1m1n2l2m2n3l3m3n应力转换公式已知关系应力理论Chapter3外力、内力与应力柯西公式应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力，八面体剪应力平衡微分方程Chapter3.3主应力&应力不变量x1x3x2111213212223313233()应用讨论-内力状态Chapter3.3主应力&应力不变量概念•切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。•主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。•主平面上的正应力称为主应力。引入定义Chapter3.3主应力&应力不变量主应力和应力不变量假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力pn＝，亦即n方向截面上剪应力为零。则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为nxnynzplpmpn确定定义参量和已知的关系Chapter3.3主应力&应力不变量对斜面BCD运用柯西公式，可得：由剪应力互等定理可得：nxxyxzxnyxyyzynzxzyzzplmnplmnplmnnxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmnChapter3.3主应力&应力不变量(1)nxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn(2)nxnynzplpmpn由(1)和(2)式得：000xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn2221lmnChapter3.3主应力&应力不变量由于，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：2221lmn000xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn0xxyxzxyyyzxzyzzChapter3.3主应力&应力不变量0xxyxzxyyyzxzyzz展开行列式得到应力状态的特征方程：式中321230III