抽象函数分类讲解

抽象函数问题分类解析1.求定义域2.判断奇偶性3.判断单调性4.探求周期性5.求函数值6.比较函数值大小7.讨论不等式的解8.研究函数的图象1.求定义域例1.函数的定义域为,则函数的定义域是___。()yfx(1]，22[log(2)]yfx这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，利用解不等式（组）,问题就会迎刃而解[()]fgx()gx()fx分析：因为相当于中的x，所以2log(2)x()fx22log(2)1x2222xx或-222220xx所求函数定义域2222，-，011011xaaxaxaaxa分析：因为及均相当于中的x，所以xaxa()fx时，则(1)当102a(1)xaa，(2)当时，则102a(1)xaa，例2.已知的定义域为,则的定义域是_____.()fx(01)，1()(),(||)2yfxafxaa1a1aaa01a1aaa0根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。()fx()fx例3.已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。()fx()()()fxyfxfy()fx中，令()()()fxyfxfy分析：在1xy得(1)(1)(1)(1)0ffff令，得1xy(1)(1)(1)(1)0ffff于是:()(1)()()()1ffxffxfxx故是偶函数。()fx2.判断奇偶性例4.若函数(),(()0)yfxfx()yfx与是偶函数。()yfx的图象关于原点对称，求证：函数证明：设图象上任意一点为()yfx00Px,y()()yfxyfx与的图象关于原点对称，00()Pxy，关于原点的对称点00()()xyyfx，在的图象上，0000()()yfxyfx，又00()yfx00()()fxfx即对于函数定义域上的任意x都有()()()fxfxyfx，所以是偶函数3.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。()[73]fx在区间，上是例5.如果奇函数()fx在区间[37]，上是增函数且有最小值为5，那么A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-5分析：画出满足题意的示意图易知选B。y5O-7-337x-5例6.已知偶函数()(0)fx在，上是减函数，()(0)fx在，是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图2所示，易知()(0)fx在，是增函数证明：任取121200xxxx12()(0)()()fxfxfx因为在，上是减函数，所以1122()()()()()fxfxfxfxfx又在定义域上是偶函数，所以，12()()()(0)fxfxfx从而，故在，上是增函数结论：奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反4.探求周期性这类问题较抽象，分析题设条件，通过类比，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。()()(2)(),1()(2)()()2fxafxfxafxfxafxafxfxa都有T=例7.设函数的定义域为R，且对任意的x有1()(2)1()fxfxfx(4)()fxfx求证：(2)()1()11(2)2()1()(4)((2)2)()1()1(2)211()xRfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfx证明：对任意有得证记住例8.设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求一个周期；若不是，说明理由。()yfx()()2()()fxyfxyfxfy()02cf()yfx分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。cosyxcos02()fx[()][()]2()()0222222()()(2)()()ccccccfxfxfxffxcfxfxcfxcfx解：故是周期函数，2c是它的一个周期。()yfx5.求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解R()fx()()()fxyfxfy(8)4f(2)f例9.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______分析：在条件中，令，得又令，得()()()fxyfxfy4xy(4)2f2xy(4)(2)(2)2fff(2)1f()fxR()()()fxyfxfy(8)4f(2)f例9.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______fx()fxfxfx()[()]()2112004)4(f)2004(f例10.已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，，于是()fx()1fx显然1()(2)1()fxfxfx1()11(2)11()(4)1()1(2)()11()fxfxfxfxfxfxfxfx1(8)()(4)fxfxfx()8(2004)(82504)(4)2004fxTfff对有6.比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。fx()0xfx()||||xx12fxfx()()12，例11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，则的大小关系是_____。fx())()(),()(2211xfxfxfxf是偶函数，解：12210xxxx又0()xfx已知：时，是增函数2121()(),()()fxfxfxfx即7.讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。往往要充分考虑抽象函数的定义域，通过解不等式组完成fx()(]，1例12.已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式fkxfkx(sin)(sin)22恒成立，求k的值解：由单调性，脱去函数记号，得2222sin1sinsinkxkxkx22221sin(1)11(sin)(2)42kxkkx2222sin1sin1sinsinkxkxkxkx22min22max(1sin)1119(sin)42411112kxkkxkkkk或由题意知(1)(2)两式对一切xR恒成立，则有2222sin1sinsinkxkxkx8.研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解yfx()2yfx()例13.若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称。分析：yfx()的图象右移个单位左移个单位22yfx()2的图象yfx()2x0而是偶函数，对称轴是yfx()x2故的对称轴是fx()fx()4例14.若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点______。()41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，fx()4()14，的反函数的图象必过定点。fx()fx()4的图象过点（0，1），从而的图象过点分析：（0，1）()41，4(1,4)