part-路面的力和变形——经典路面力学分析

Part2路面的力和变形——经典路面力学分析Part2.力和变形——经典路面力学分析•ξ1.路面力学分析的发展路基路面力学分析需求刚性路面柔性路面1929洛夫圆形均布荷载下解（均匀体）1884赫兹的液体支承板理论1924奥尔德的板角悬臂梁理论1925威斯特卡德的理论解1885布辛尼斯克半空间体理论1938霍格、舍赫捷尔无限大板理论解1945波密斯特层状体系理论1954福斯脱圆形均布荷载计算诺模图（均匀体）1948~1959科岗等人使层状解析理论不断完善1957~1962希夫曼等人发展了数值解法一系列弹性体系计算程序1960s后粘弹体系理论和数值解法很多有限尺寸板修正理论解弹性层状体系数值解•ξ2.轴对称空间问题的一般解–路面分析便于简化为轴对称空间问题•荷载•结构–还可进一步简化为平面对称问题–分析目的：•解算荷载作用下的应力分量和位移分量–解决方法•弹性空间体结构分析•引入轴对称简化为柱坐标•解算空间问题方程•得到应力分量和位移分量表达式1.轴对称空间问题的方程xyzyzzyzxxzxyyx、、、、、xyzyzzxxy、、、、、uvw、、空间问题共有15个未知函数：6个应变分量：3个位移分量：6个应力分量：15个函数应该满足15个基本方程（用15个方程求解）：3个平衡微分方程（应力之间的关系）：000000yzxzxxyzyxyyyzxzZzFXxyzFYyzxFZzxy6个几何方程（应变和变形之间的关系）：,,,,xyzyzzxxyuvwxyzwvuwvuyzzxxy6个物理方程（应力与应变的关系）：()112()112()112,2(1)2(1)2(1)()12()xxyyzzyzyzzxzxxyxyxyzxyzEeEeEeEEEeE1()1()1()2(1)2(1)2(1)xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyEEEEEE或直角坐标情况，转换柱坐标：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z空间轴对称问题–弹性层状体系空间轴对称，在柱坐标中，微分单元体上，应力分量有三个法向应力（）和三对剪应力–当层状体系表面作用轴对称荷载时，各应力、形变和位移分量也对称于对称轴，即它们仅是r和θ的函数。因而,，三对剪应力只剩下一对。–由此可将柱坐标下的方程组化简r、和zzrrz、rr、zz0rr0zz1.轴对称空间问题的方程rzrrzzrzzr、、、、、rzrzrz、、、、、ruuuw=、6个应变分量：3个位移分量：6个应力分量：15个函数应该满足15个基本方程，空间轴对称问题化简为10个2个平衡微分方程：4个几何方程：4个物理方程：或柱坐标空间轴对称情况00rrzrzrrzrzzrzrrrzrzururzurzzrzrrzzrzzrrEEEE1211111211211221rrzzzzEEEE①②③011011011120112222222222222zrrzrrrrrzrzrzrrr平衡微分方程中3个未知量，却只有两个方程，是一个超静定问题为进一步求解，引入变形协调方程/相容方程，表征变形连续性:222221zrrrzr拉普拉斯算子P40，3-2由几何方程消去u和w，得变形协调方程：222222222212011110rzzrzzrrrrrrrzrrrzrzrzrzrzrz再将物理方程代入上式，得变形协调方程的应力表示式：第一应力不变量引入洛夫应力函数，洛夫应力函数表达为:),(zr2222222222121zrzzrrzrzrzzrzr根据前述方程已经可以解得各种分量，但这种解法相当困难，采用洛夫（1925）提出的应力函数可以简化计算将洛夫应力函数表达式代入平衡微分方程和变形协调方程，除了平衡微分方程的第一个公式恒等于0外，其他的方程都转化为重调和方程：022如果应力函数是重调和方程的解，则能满足平衡微分方程和变形协调方程。因此，只要根据重调和方程求得应力函数，就能计算各应力分量。解重调和方程可以采用分离变量法或汉克尔积分变换法，习惯上采用较为简单的后者路面力学计算P40，式3-3式3-32.应用汉克尔积分变换求解重调和方程（1）形如下式的微分方程称为贝塞尔方程，其解含有贝塞尔函数（Jn，n=0,1,2…）：（含有拉普拉斯算子的方程常能展开成贝塞尔方程，重调和方程变化成贝塞尔方程之后求解，应将应力函数表达成贝塞尔函数）22222()0dydyxxxnydxdx（2）按照傅里叶定理，在任意区间满足收敛的函数可以展开成傅里叶级数,在无限区间时可写成无穷积分的形式：()1()()2ixfxdfed0000()()()()frJrdfJd（3）若函数f(r)能按照贝塞尔函数的积分形式展开如下（适合于二维傅里叶积分在一定条件下按极坐标展开）：0000()()()()()()ffrJrrdrfrfJrd则变换式成立：两式互为反演，互称为对方的汉克尔积分变换式。且0阶可以推广到n阶傅里叶级数的指数表达式。P30，式2-111,P32，式2-1142.应用汉克尔积分变换求解重调和方程（5）推广到带有拉普拉斯算子的形式：0022120220220()()()ddJrddrdrJrdrrJrdzz222222202022222220201(,)(,)()1(,)(,)()rzrzrrrzJrdzrzrzrrrzJrrdrz（4）推广到洛夫应力函数的汉克尔积分变换式为：0000(,)(,)()(,)(,)()zrzJrrdrrzzJrd其中ξ为引入积分参变量P35，式2-136,2-137积分变换法求解问题的步骤：1）.对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程2）.对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变为定解条件3）.对常微分方程，求原定解条件解的变换式4）.对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解2.应用汉克尔积分变换求解重调和方程经过上述的准备工作，已经可以将偏微分方程变为常微分方程244222200020002222220220(,)(,)()()()(,)()(,)()(,)()()(,)0drzrrzJrdrrJrdrrrzJrdrrzdzddrrzJrdrzdzdz按一般方法解这个常微分方程(四阶齐次线性贝塞尔方程)，其通解形式为：(,)()()zzzABzeCDze根据汉克尔积分变换反演：00(,)()()()zzrzJrdABzeCDze式中ξ是引入的参变量，Aξ、Bξ、Cξ、Dξ都是ξ的函数，值由边界和层间结合条件来确定P433-11a3.轴对称空间问题的精确解当然也可以按照应力函数的微分关系求得应力、应变、位移的一般表达式（将应力函数微分关系式代入前述洛夫应力函数的定义式，位移分量通过几何方程积分得到）：323013002220120032030222120201()()(1)1()()(1)(2)()(1)()1rzzrdddJrdJrdrdzdzdzdddJrdJrddzdzrdzddJrddzdzdJrddzuE122020()1(12)2(1)()JrdzJrdEz223223(1)(1)(2)(2)(3)(3)zzzzzzdAzBCzDeedzdAzBCzDeedzdAzBCzDeedz(,)()()zzzABzeCDze又代入应力、应变一般表达式P45，3-173.轴对称空间问题的精确解000000101()(12)(12)12()()()(12)(12)()(2)(2)11(24zzrzzzzzzzzreeJrdUAzBCzDrBeDeJrdUreeJrdAzBCzDeeJrdAzBCzDuUEAE00())(24)zzeeJrdzBCzD式中：323210,,,()(1)(1)zzAABBCCDDUeeJrdAzBCzD上述6式为应力与位移分量的一般表达式，它适用于任何类型的轴对称空间问题。今后对解决某一轴对称的具体问题，只要根据其边界条件和层间结合条件求得A、B、C、D，就能获得该课题的全部精确解。P46,3-184.应力和位移分量的数值解贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称，整数阶的贝塞尔函数可以展开成级数（其具有波动衰减特性——收敛，则可近似计算）或用无穷积分表示。2246022222()(1)!()!!(1)!2!(2)!3!(3)!nknnnnknkxxxxxJxknknnnn当宗量（x）的大小确定，函数的阶数确定时，可采用一系列的近似公式计算。如《路面力学计算》P16-24：ξ3.轴对称空间问题解在弹性半无限空间体的推广•1.弹性半空间体问题及推广xyxyyzzxzuvwyyzxyzxxzyyzxy