圆与方程知识点总结

圆梦教育中心圆与方程知识点总结1.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax（3）涉及最值：①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）3.圆的一般方程：022FEyDxyx.(1)当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.(2)当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.(3)当0422FED时，方程不表示任何图形.注：方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.4.直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax圆心到直线的距离22BACBbAad1）无交点直线与圆相离rd；2）只有一个交点直线与圆相切rd；3）有两个交点直线与圆相交rd；弦长|AB|=222drdrd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:rbyaxC与圆2222222)()(:rbyaxC，圆心距221221)()(bbaad①条公切线外离421rrd；②条公切线外切321rrd；③条公切线相交22121rrdrr；④条公切线内切121rrd；⑤无公切线内含210rrd；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.补充说明：①若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；②若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）补充：①上述圆系不包括2C；②2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即1)()(2110101RxakybRxxkyy求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为。7．切点弦(1)过⊙C：222)()(rbyax外一点),(00yxP作⊙C的两条切线，切点分别为BA、，则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax8.切线长：若圆的方程为(x?a)2?(y?b)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为d=22020b)(+)(ryax．9.圆心的三个重要几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在某一条弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2+y2—2x=0和圆C2：x2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。