有限元考试复习题

第1章杆件结构1.1单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。（4）特点：1）对称性。由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。2)奇异性。即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。3)存在相当数量的零元素。由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。1.2如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q、2Q、3Q而平衡。试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u、2u、3u之间的矩阵关系。解：杆件1的单元刚度矩阵为：1111111EAkl；杆件2的单元刚度矩阵为：2221111EAkl；结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EAEAllkkEAEAEAEAKkkkkllllkkEAEAll而又12llL，所以11112222AAEKAAAALAA令节点位移向量为123,,Tuuu，节点力为123,,TFQQQ，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223QAAuEQAAAAuLQAAu1.3如图所示为三角桁架，已知25/101.2mmNE，两直边的长度ml1，各杆的截面积21000mmA，求此结构的整体刚度矩阵K，若节点的编号改变后，问K的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：1111iiiEAkl，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：11111EAkl；21111EAkl；311112EAkl平面杆单元坐标转置矩阵：cossincossinT，而又00012390045、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T；21010T；322222222T根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为1111000000101101000101001100010000010101TEAEAkTkTll2222101010001110000000011100101010000000TEAEAkTkTll33331011111011110011110111001111112222011111TEAEAkTkTll令节点位移向量为112233,,,,,Tuvuvuv，节点力为112233,,,,,TxyxyxyFqqqqqq，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得1010000100011111101222222221111002222222211110022222222111101122222222EAKl若节点的编号改变后，K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。第2章平面问题2.1平面结构由平板与加强直杆组合而成，如下图所示，在板的斜边上作用均匀的垂直载荷q，已知板与杆的尺寸a、b、t及材料性质E、，若加强杆只承受轴力，将三角板离散为4个三角形单元，试简要说明用有限元位移法求解此结构的位移与应力的方法与步骤。写出整体载荷列阵。解：用有限元位移法求解此结构的位移与应力的方法与步骤如下所示：（1）对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；（2）求出各三角形单元的刚度矩阵[K](e)。[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为：{F}(e)=[K](e){Φ}(e)；（3）集成结构的总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程。总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}=[K]{Φ}，此即为总体平衡方程；（4）引入边界条件，简化求解方程，求出各节点的位移；（5）求出各三角形单元内的应力和应变。解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。外荷载为线性分布的表面力，且为均布荷载。在单元坐标系中，作用于单元123上的外荷载等效为节点力为：151000104Tsfqta；作用于单元356上的外荷载等效为节点力为：251000104Tsfqta。进行转置后，可得在整体坐标系的荷载列阵为：1111100000042242TFqtaqtaqtaqtaqtaqta2.2图示的三角形单元ABC，其尺寸如图，单位：mm，已知材料的弹性模量MPaE5102，泊松比为0，如A点的x方向的位移muA8102，y方向的位移为0；C点沿x方向的位移为0，沿y方向的位移mvC810；而B点的位移为零。试计算此单元的应力及三个节点的节点力。解：由题中条件可得三角形单元的节点位移列阵为：0000TeAC其中：8210mAAu，810mCCv。单元ABC为平面应力单元，A节点编号为i，B节点编号为j，C节点编号为m，则其应力矩阵ijmSSSS为：2,,2(1)1122iiiiiiibcESbcijmAcb其中：ijmmjijmijmaxyxybyycxx，ijm，A为三角形ABC的面积。而又eiiiS，则可得2,,2(1)1122iiiiiiiibcEbcijmAcb三角形单元ABC的应力为：eeeeiijjmmSSSS。三角形单元ABC的单元刚度矩阵eK为：iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK其中：21122114122rsrsrsrsrsrsrsrsrsbbccbccbEKAcbbcccbb。节点力的计算公式为eFK，将相关数据带入计算公式可得：253.7859.902133.98155.38119.8215.2N8TF2.3正方形平面结构，沿对角线AD方向承受两集中拉力P，其网格示意所示。若取整体计算时，结点应如何编号使其半带宽最小？并说明怎样处理位移约束。如果利用结构的对称性，只计算1/4，又如何处理边界条件？答:（1）当节点编号合理即相邻单元的节点编号差尽可能小，这些稀疏的非零元素集中在以对角线为中心的一条带状区域内，具体编码如下图所示。B=d（D+1）对于平面问题d=2，则有Dmin=5。由于AD方向承受两集中力整体对称，则两对称轴线交点处的限制位移为0，对称轴则是横向位移限制为0，轴向位移放松。（2）取题中结构的四分之一，结构单元划分情况如下图所示。边界条件为：v4=v5=v6=0，分别对应总体平衡方程的8、10、12行，u1=u2=u3=0分别对应1、3、7行。因此，在计算机程序实现中将这6行中的对角线元素乘以大数即可，用手解即可把这6行和6列划掉，使总体平衡方程变为6阶线性方程组。xy1a23a564①②③④aa2.4如上题中在BC间连一刚度为k的弹簧，按刚度矩阵的物理意义，在有限元分析中如何处理此弹簧?弹簧原长为BC如何？若原长比BC的长度小，该怎样处理？答：在有限元分析中，刚度为k的弹簧可以视为杆单元进行处理，只需要将它的刚度系数叠加到整体刚度矩阵中的对应位置即可。如果弹簧原长比BC小，则其为有初始应力的单元且为拉力。将弹簧的初始力F=k作用于对应节点，弹簧的刚度矩阵仍然按照BC长度计算即可。第3章等参数单元3.1证明平面三角形常应变单元为等参数单元。证明：等参数单元：单元的几何形状和单元内的参变量函数可采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换。平面三角形常应变单元的形函数既可用来进行单元内位移插值，也可用来表示单元内任意一点的坐标。其位移模式为：iijjmmiijjmmuuLuLuLvvLvLvL其坐标变换式为：iijjmmiijjmmxxLxLxLyyLyLyL因而平面三角形常应变单元为等参数单元。3.2试证明三角形常应变单元mmjjiiNxNxNxxmmjjiiNyNyNyy证明：对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u、v表示为坐标x和y的线性函数，即123456uxyvxy其中：123456,,,,,为待定常数。设各节点坐标为,,,,,iijjmmxyxyxy，各节点位移为,,,,,iijjmmuvuvuv，从而有123456iiiiiiuxyvxy，123456jjjjjjuxyvxy，123456mmmmmmuxyvxy于是有112iiijjjmmmuxyuxyuxy，211121iijjmmxyxyxy，311121iijjmmxyxyxy其中为三角形面积。将i，j，m按照逆时针编号，经过整理可得：12iiiijjjjmmmmuabxcyuabxcyuabxcyu同理可得：12iiiijjjjmmmmvabxcyvabxcyvabxcyv令12iiiiNabxcy，则可得三角形常应变单元的位移模式为iijjmmiijjmmxxNxNxNyyNyNyN3.3证明：平面四节点等参数单元为完备的协调单元。证明：对于平面四节点等参数单元，建立了局部坐标系或者映射后，可以在平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。同时，任意四边形单元在母单元中的位移模式就是矩阵单元的位移模式，写为：1122334411223344uuNuNuNuNvvNvNvNvN，111,1,2,3,44iiiNi相邻平面四节点等参数