搜索
复习课件第十三章轴对称知识框架轴对称等腰三角形轴对称图形垂直平分线等腰三角形等边三角形轴对称的性质关于坐标轴对称的点的坐标轴对称作图性质和判定性质判定性质判定含30°角的直角三角形的性质轴对称要点梳理一、轴对称相关定义和性质(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作____________，这条直线就是它的_________.(2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形对称轴1.定义(3)轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.性质(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的__________；垂直平分线对称轴三、平面直角坐标系中轴对称(x,-y)点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为.(-x,y)四、等腰三角形的性质及判定1.性质(1)两腰相等;二、垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.相等判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．端点(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”顶角平分线2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.等角对等边(3)两个_______相等，简称“等边对等角”;底角(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;五、等边三角形的性质及判定1.性质⑴等边三角形的三边都相等；⑵等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于________；⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.60°2.判定⑴三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形六、有关作图1.过已知直线外的一点作该直线的垂线2.作线段的垂直平分线3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题考点讲练考点一轴对称及轴对称图形例1下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（）ABCDB针对训练1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）个A.1B.2C.3D.4D2.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为______.60°考点二关于坐标轴对称的点的坐标例2按要求完成作图：(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：xyOABC解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可.(2)找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，A'C与x轴的交点即是点P的位置.A1B1C1A1P3.在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（）A.3，-2B.-3，-2C.3，2D.-3，2C针对训练方法总结坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).考点三线段垂直平分线的性质和判定例3在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上．解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD=DC，进行等量变换，可到AE=EC.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．ABCMN4.如图：△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM=3cm，△ABC的周长是22cm，则△ABN的周长是.16cm针对训练方法总结线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.考点四等腰三角形的性质和判定例4如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.ABCD12E解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.ABCD12E解：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，如图所示，则11=2=.2BAC∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.方法总结在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化.例5等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数.解：设该等腰三角形中，小角的度数为x，则大角的度数为2x.当x为底角时，x+x+2x=180°解得x=45°，则2x=90°.当x为顶角时，x+2x+2x=180°解得x=36°.故该等腰三角形顶角的度数为90°或36°.方法总结在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.针对训练5.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有个.3BCDA6.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1,EB1分别交边AC于M、H点，若∠ADM=50°,则∠EHC的度数为.70°ABCDEB1MH7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AC=AB+BD.求证∠B=2∠C.DCBA证明：在AC上截取AE=AB，连结DE.E∵AD是角平分线，∴∠EAD=∠BAD.又∵AD=AD，∴△EAD≌△BAD，∴DE=DB，∠AED=∠B.∵AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，∴CE=ED.∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C，即∠B=2∠C.想一想：还有别的证明方法吗？提示：延长AB至F，使BF=BD，连结DF8.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．证明：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF，∴BF=2CF．谢谢