相似三角形典型例题

相似三角形典型例题例1.如图，P为Rt△ABC斜边AB上任意一点（除A、B外），过点P作直线截△ABC，使截得的新三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的作法共有（）A、1种B、2种C、3种D、4种错解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形。选B解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A∴△APE∽△ACB；∴共有3条．选：C点拨：在一个问题有多种情况时，分类小心有遗漏。例2.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？错解：△AOB∽△DOC.理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC正解：要得到△AOB∽△DOC，如果由两边对应成比例且夹角相等，则应得到；而这位同学根据平行线型得到△AOD∽△COB，则。以上两个比例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。例3.如图1，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。图1解：（1）∠ABC＝135°，BC22（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，ABDEBCEF2∴△ABC∽△DEF评析：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高。例4如图2所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。图2（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？解：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。如图3所示。图3（2）BEBCCE17005001200（米）AEABBE221500（米）∵△ABE∽△CFE得CFABCEAE∴·CFCEABAE5009001500300（米）∵△BHE∽△CFE，得CFBHCEBE∴·BHBECFCE1200300500720（米）∵△ABE∽△DGA，∴ABDGAEAD∴·DGABADAE900170015001020（米）所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720800576000（元），300800240000（元），1020800816000（元）。评析：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。例5.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且ADBDDC2·，则∠BCA的度数为_____________。解：（1）当高AD在△ABC内时，如图4。图4∵·，∴ADBDDCADBDDCAD2又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA∴∠BAD＝∠ACD∵∠CAD＋∠ACD＝90°∴∠CAD＋∠BAD＝90°∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°（2）当高AD在△ABC外时，如图5。图5同理可证△ADB∽△CDA∴∠ABD＝∠CAD＝25°∴∠ACD＝65°∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。例6.定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。探究：（1）如图6，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。图6（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF（图7）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图7-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图7-2）……依此规则操作下去。n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn。①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，23Sn？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映SSSnnn11，，之间关系的等式（不必证明）。解：（1）如图8，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线。图8理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°∴△BCD∽△ACB（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为14n∴Snn100004当n5时，SS5510000977.当n＝6时，SS6610000244.当n＝7时，SS7710000061.∴当n＝6时，236S②SSSnnn211评析：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用。