信号与系统公式大全

第一章绪论i连续时间信号离散时间信号时间区间(,)TT(,)(,)NN(,)瞬时功率2()ft能量2()TTEftdt22lim()()TTTEftdtftdt2()NnNExn2()nExn平均功率212()TTTPftdt212lim()TTTTPftdt21()21NnNPxnN21()21limNnNNPxnN周期信号()()ftftmT0,1,2,m()()xnxnmn0,1,2,m000()jTjtTee002T线性11221212()()()()()()()()()()()()ftytaftaytftytftytftftytyt若齐次性则若，可加性则分解性线性系统零状态线性零输入线性0()()()()()()xfnytytytynynyn判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果时不变性若()()fftyt，则00()()ffttytt若()()xnyn，则00()()xnnynn系统时不变性：1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化2方程分析：系数是否随时间而变3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移。第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析一．普通信号普通信号()stftKe(,)，sj直流信号0,0()ftKt实指数信号0,0()tftKet时间常数：1虚指数信号00,0000cossin()jtKtjKtftKe正弦信号()jftKe000Im[]Im[]sin()jtjjttKeKeeK复指数信号00,000cossin()ttKetjKetftt功率信号：0PE且Z时域分析频域输入输出系统模型系统模型变换域分析复频域域状态变量系统模型能量信号：0EP且二、冲激信号冲激信号()At()00()0()AttAttAtdtA一般定义泛函定义:()()(0)AttdtA()At是偶函数筛选特性000()()()()ftttfttt特别：0()()()()fttftt取样特性00()()()ftttdtft特别：()()(0)fttdtf展缩特性1()()baaatbt证明：1.0a2.0a3.1()()()()aabgtatbdtgttdt阶跃信号()Aut000()AttAut定义：0t处可以定义为,110,2(个别点数值差别不会导致能量的改变)性质1.()()tAdAut2.[()]()AutdAdt斜坡信号()Art0()00AttArtt性质1.()()tAutdtArt2.[]()()AdAutrtdt高阶冲激信号()()nt()0()()(1)[()]:nnnntdfttdtftdt泛函定义冲激偶信号'()t''0()()[()](0):tdfttdtftfdt泛函定义说明：1.'()t量纲是2s2.强度A的单位是2Vs3.'()t是奇函数筛选特性'''00000()()()()()()ttttttftftft0t时'''()0()()()()(0)tttftff证明：对000()()()()ttttftft两端微分取样特性''00()()()ftttdtft证明：关键利用筛选特性展开展缩特性''2''21()()01()()0batbtaaabatbtaaa特别：''1,0()()abtt时'()t是奇函数三.卷积连续时间信号离散时间信号卷积定义1212()()()()fftdftft1212()()()()kxnxnxkxnk交换率1221()()()()ftftftft1221()()()()xnxnxnxn分配率1231213()[()()]()()()()ftftftftftftft1231213()[()()]()()()()xnxnxnxnxnxnxn结合率123123[()()]()()[()()]ftftftftftft123123[()()]()()[()()]xnxnxnxnxnxn奇异信号卷积特性单位样值信号卷积特性单位元特性()()()fttft()()()xnnxn延时特性00()()()ftttftt1212()()()()()tfttgttftgttt()(1)(1)xnnxn()()()xnnkxnk积分特性()()()tfdutft1()()()(1)!()()nttntftdtdtftnutft()()()kxkxnun冲激偶卷积''()()()tftft()()()()()nntftft四.电路元件的运算模型元件名称电路符号时域电路符号频域电路符号复域ui关系运算模型运算模型运算模型电阻()()utRit()()utRit()()RRUtRIt()()RRUsIsR电容1()()tutitdtC()1()utitpC()1()CCUtItjC11(0)()()CCCuCssUsIs(0)()()CCCuIsCsUsC电感()()dutLitdt()()utpLit()()CCUtItjL(0)()()LLLiUsLsIsL11(0)()()LLLiLssIsUs五.连续时间系统时域分析系统建立微分方程建立算子方程：()()()()DpytNpft系统的特征方程：0()()pDDp()()0()()()0()()()()()()()()()xffxfffDpytytfthttNpytytytNpyttDpDp求特征根零输入响应方程求全响应求冲激响应零状态响应微分方程法传输算子法冲激响应法系统的描述方法六.系统的特征方程连续时间系统零输入响应连续时间系统零输入响应条件()xty的表式0()yn的表达式条件n个各不相同的实数12n12n12()0tttxnytkekeket11220()nnnkkynccck个各不相同的实数12kr个重根0，n-1个单根12n-112n-rn-r+1121()ttttxnrnrytkekekeke0012ttnnnrktekte0t11210)()(qnqcnnyncc1111nnnqqkkcccq个重根1，k-q个单根1qki个成对的共轭复根111222,jjiij1'1111()[cos()sin()]txytektkt'[cos()sin()]itiiiiektkt0t120()()()jnjnyncrecre''12[cos()sin()]nrcncn系统含有共轭复根,jjrere七.系统的冲激响应和单位样值响应连续时间系统离散时间系统传输算子()Hp冲激响应()ht传输算子()HE样值响应()hna()at1()nap()autEE()nun1pa()ateut2()EE1()nnun1()npa1(1)!()nattneut22()EE(1)()nnun22()bbpasin()()atbteut()mEE1(1)(2)(1)!()nmnnnmmun22()bpapacos()()atbteut八.基本离散信号单位样值信号()n0010()nnn()()()kxnxknk单位阶跃序列()un0010()nnun的整数的整数()()(1)nunun斜变序列()nun00()10nnunn的整数的整数矩形序列()kGn101()0knkGn其它复指数序列(),,njxnznzre其中指数序列0,,()nzrxnr虚指数序列00001,,()cossinjnrxnej九.离散信号的性质周期性0000sinsin()sin()nNnN当02Nk即02Nk为整数时，0sinn才是周期序列0为数字角频率单位：弧度0为模拟角频率单位：弧度/秒0(,)序列的累加()()kynxk序列的差分一阶前向：()(1)()xnxnxn一阶后向：()()(1)xnxnxn序列的移位单位超前算子：()()kExnxnk单位延迟算子：()()kExnxnk十.信号的分解○1直流分量与交流分量○2奇分量与偶分量()()DAftfft常数平均是为零()()()eoftftft1()[()()]21()[()()]2eoftftftftftft第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1.简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()jtjtjtjytehtehdeehd简谐振荡信号傅里叶变换：()Hjehj()d)()jty(teHj点测法：2.傅里叶级数和傅里叶变换在时域内周期信号分解傅里叶级数在频域内非周期信号解分周期信号分解傅里叶变换傅里叶变换3.狄里赫勒（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）ft()1○绝对可积，即0)0tTtf(tdtft()ft()2○的极大值和极小值的数目应有限3○如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数信号集的正交性三角形式01sin()(cos)nnnftaantbnt00000001()2()cos2()sintTttTnttTntaftdtTaftntdtTbftntdtT000000cossin0,coscos20sinsin20tTttTttTtntmtdtmnTmnntmtdtmnTmnntmtdtmn所有指数形式()jntnnftFe001()tTjntntFftedtT000tTjntjmttTnmeedtnm5.波形对称性与谐波特性的关系对称性傅里叶级数中所含分量余弦分量系数na正弦分量系数nb偶函数()()ftft只有余弦项，可能含直流204()cos()TnaftntdtT0nb奇函数()()ftft只有正弦项0na204()sin()TnbftntdtT半波像对称（奇谐函数）()()2