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上海市徐汇区西南模范中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.关于x的一元二次方程𝑘𝑥2+𝑘𝑥+1=0是一元二次方程的条件是()A.𝑘≠0B.𝑘≠3C.𝑘≠−2且𝑘≠3D.𝑘≠−22.一元二次方程(𝑥−1)2−2=0的根是()A.𝑥=√2B.𝑥1=−1，𝑥2=3C.𝑥=−√2D.𝑥1=1+√2，𝑥2=1−√23.下列函数中，y随x的增大而减小的函数个数是()(1)𝑦=2𝑥+8(2)𝑦=1𝑥(3)𝑦=−2𝑥2+8(𝑥1)(4)𝑦=−4𝑥(5)𝑦=3𝑥(𝑥0)A.1B.2C.3D.44.点P到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的距离相等，则点P是△𝐴𝐵𝐶()的交点．A.三条高B.三条角平分线C.三条中线D.三边的垂直平分线5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=36°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接𝐵𝐷.则下列结论：①∠𝐶=2∠𝐴；②𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶；③𝐵𝐶=𝐴𝐷；④𝐶𝐷=𝑂𝐷.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠𝐴=75°，∠𝐴𝐶𝑃=12°，则∠𝐴𝐵𝑃的度数为()A.12°B.31°C.53°D.75°二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）7.函数𝑦=√2𝑥−1的定义域是______．8.方程𝑥2+2𝑥=1的解是______．9.方程𝑥2−3𝑥=0的根是_________．10.因式分解：9−𝑥2=．11.已知一次函数𝑦=(−3𝑎+1)𝑥+𝑎的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则a的取值范围是________．12.若点(−2,𝑦1)，(−1,𝑦2)，(1,𝑦3)在反比例函数𝑦=𝑘2+1𝑥的图像上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小关系为(用“”连接)．13.命题“如果𝑎=𝑏，那么3𝑎=3𝑏”的逆命题是．14.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是______．15.如图，分别以线段BC的两个端点为圆心、适当长度(大于BC长的一半)为半径作圆弧，两弧相交于点D和E；作直线DE交BC于点F；在直线DE上任取一点𝐴(点A不与点F重合)，连接AB、𝐴𝐶.若𝐴𝐵=9𝑐𝑚，∠𝐶=60°，则CF的长为______cm．16.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，BD平分∠𝐴𝐵𝐶，交AC于点D，𝐴𝐶=14𝑐𝑚，且CD：𝐴𝐷=2：5，则点D到AB的距离为______cm．17.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.若∠DBC=33°，∠A的度数为__________．18.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，AD平分∠𝐵𝐴𝐶，BE是高线，∠𝐵𝐴𝐶=50°，∠𝐸𝐵𝐶=20°，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为_______．三、解答题（本大题共10小题，共64.0分）19.解方程：3𝑥2−1=2𝑥+2．20.用配方法解方程2𝑥2−5𝑥+2=0．21.解方程：𝑥2−𝑥−3=0．22.请按要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹(1)在图中，用尺规作∠𝐴𝐶𝐵的平分线；(2)在图中，用尺规作线段AB的垂直平分线．23.𝑥2+(2𝑘+1)𝑥+𝑘2−2=0有实数根，求k的取值范围．24.小明从家骑自行车出发，沿一条直线到相距2000m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以80𝑚/𝑚𝑖𝑛的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留4min后沿原路以原速返回，恰好比爸爸早5分钟到家．图中折线OABC和线段EF分别是表示他们与家的距离sm与小明从家出发后的时间tmin之间的函数关系的图象．(1)求小明爸爸回家用时间及小明从家到邮局的时间；(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家多远？25.已知：如图，△𝐴𝐵𝐶的边BC的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、𝐸.求证：𝐴𝐵𝐴𝐶．26.“WJ一号”水稻种子，当年种植，当年收割，当年出水稻产量，(以后每年要出产量还需重要新种植)，某村2017、2018、2019年连续尝试种植了此水稻种子．2018年和2019年种植面积都比上年减少相同的数量，若2019年平均每公顷水稻产量比2018年增加的百分数是2018年比2017年增加的百分数的1.25倍，2019年比2017年种植面积减少的百分数与2019年水稻总产量比2017年增加的百分数相同，都等于2018年比上年平均每公顷水稻产量增加的百分数．(1)求2019年平均每公顷水稻产量比2018年增加的百分数；(2)求2018年这种水稻总产量比上年增加的百分数．27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=𝑥+𝑏的图象经过点𝐴(0,1)，与反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑥0)的图象交于𝐵(𝑚,2)．(1)求k和b的值；(2)在双曲线𝑦=𝑘𝑥(𝑥0)上是否存在点C，使得△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．28.(1)如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点M是BC边上的任意一点(不含端点B，𝐶)，连结AM，以AM为边作等边△𝐴𝑀𝑁，并连结𝐶𝑁.求证：𝐴𝐵=𝐶𝑁+𝐶𝑀．(2)【类比探究】如图2，在等边△𝐴𝐵𝐶中，若点M是BC延长线上的任意一点(不含端点𝐶)，其它条件不变，则𝐴𝐵=𝐶𝑁+𝐶𝑀是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．--------答案与解析--------1.答案：A解析：解：由关于x的一元二次方程𝑘𝑥2+𝑘𝑥+1=0，得𝑘≠0．故选：A．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.答案：D解析：【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．利用直接开平方法即可解答．【解答】解：∵(𝑥−1)2=2，∴𝑥−1=±√2，即𝑥=1±√2，∴𝑥1=1+√2，𝑥2=1−√2．3.答案：C解析：本题考查了一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象的性质判断即可．解：(1)𝑦=2𝑥+8，𝑘=20，y随x的增大而增大，不符合题意；(2)𝑦=1𝑥，𝑘=10，在每一象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；(3)𝑦=−2𝑥2+8(𝑥1)，y随x的增大而减小，符合题意；(4)𝑦=−4𝑥，𝑘=−40，y随x的增大而减小，符合题意；(5)𝑦=3𝑥(𝑥0)，y随x的增大而减小，符合题意；所以有三个函数都是y随x的增大而减小．故选C．4.答案：D解析：此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是关键，根据点P到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的距离相等，即可得到点P是△𝐴𝐵𝐶三边的垂直平分线的交点．解：∵点P到△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的距离相等，∴点P是△𝐴𝐵𝐶三边的垂直平分线的交点，故选D．5.答案：C解析：本题主要考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．求出∠𝐶的度数即可判断①；求出∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐵𝐷的度数，求出∠𝐷𝐵𝐶的度数，即可判断②；根据等腰三角形的判定即可判断③；根据角平分线的性质以及直角三角形斜边长大于直角边长，则可判断④.解：∵∠𝐴=36°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=72°，∴∠𝐶=2∠𝐴，①正确；∵𝐷𝑂是AB的垂直平分线，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，∴∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷=36°，∴∠𝐷𝐵𝐶=72°−36°=36°=∠𝐴𝐵𝐷，∴𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，②正确；∵∠𝐴𝐵𝐷=36°，∠𝐶=72°，∴∠𝐵𝐷𝐶=72°，∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷，∴𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐷，③正确．∵𝐷𝑂是AB垂直平分线，∴𝐷𝑂⊥𝐴𝐵，作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，则𝐷𝑂=𝐷𝐸𝐷𝐶，④错误；则①②③正确，故选C．6.答案：B解析：本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到𝑃𝐵=𝑃𝐶，得到∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑃𝐶𝐵，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．解：设线段BC的垂直平分线与BC交于点E∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝑃，∵𝑃𝐸是线段BC的垂直平分线，∴𝑃𝐵=𝑃𝐶，∴∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑃𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝑃=∠𝑃𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐵𝑃+∠𝐴𝐵𝑃+∠𝐴𝐵𝑃+12°+75°=180°，解得，∠𝐴𝐵𝑃=31°，故选：B．7.答案：𝑥≥12解析：解：根据题意得：2𝑥−1≥0，解得：𝑥≥12．故答案为𝑥≥12．根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8.答案：𝑥1=−1+√2，𝑥2=−1−√2解析：解：𝑥2+2𝑥+1=2，(𝑥+1)2=2，𝑥+1=±√2，所以𝑥1=−1+√2，𝑥2=−1−√2．故答案为𝑥1=−1+√2，𝑥2=−1−√2．利用配方法得到(𝑥+1)2=2，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(𝑥+𝑚)2=𝑛的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9.答案：𝑥1=0，𝑥2=3解析：本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的关键是降次，将二次降为1次，常用的方法有，直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法，解答此题可利用因式分解法解答即可．解：𝑥2−3𝑥=0，𝑥(𝑥−3)=0，∴𝑥1=0，𝑥2=3，故答案为𝑥1=0，𝑥2=3．10.答案：(3+𝑥)(3−𝑥)解析：此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式利用平方差公式分解即可．解：9−𝑥2=(3+𝑥)(3−𝑥)．故答案为(3+𝑥)(3−𝑥)．11.答案：0𝑎13解析：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)中，当𝑘0，𝑏0时函数图象经过第一、二、三象限是解答此题的关键．根据一次函数的性质列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．解：∵一次函数𝑦=(−3𝑎+1)𝑥+𝑎的图象经过第一、二、三象限，∴{−3𝑎+10𝑎0，解得：0𝑎13．故答案为0𝑎13．12.答案：𝑦2𝑦1𝑦3解析：本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用反比例函数的性质、图象上点的坐标特征进行说理是解此题的关键．关键𝑘2+10，得到反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限