顶点式法求二次函数解析式

顶点式法求二次函数解析式①二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)2+k，顶点是(h,k)配方:y=ax2+bx+c=___________=_______________=______________＝（x+ab2）2+abac442,对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）,h=-ab2，k=abac442,所以，我们把y=a(x-h)2+k叫做二次函数的顶点式②已知二次函数图象的顶点坐标（h，k）或者对称轴方程x=h或者最大值k，最小值k，当然还要知道抛物线上的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，再将那个一般点的坐标带入，求出a的值，最后写出函数解析式再化成一般式就行了，有时可能需要两个一般点列方程组求出a的值或h或k的值。例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式解：设所求的二次函数为y=a〔x-（-1）〕2-3=a（x+1）2-3，由条件得：点(0,-5)在抛物线上，a-3=-5,得a=-2，故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3，即：y=－2x2-4x－5例：已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时，x=1。故顶点坐标为（1，2），所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)2+2，得a=-2，故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2，即：y=-2x2+4x例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a（x-0）2+0，即y=ax2，桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3).∴25,1003.ahah解得1,251.ah抛物线的解析式为y=-125x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200280,∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.练一练：①抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式②二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式③已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式④已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式⑤已知二次函数的图象经过原点，且当x=3时，有最小值-4，求这个二次函数的解析式⑥已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8⑦已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式