数值计算方法答案

1数值计算方法习题一（2222）习题二（6666）习题三（15151515）习题四（29292929）习题五（37373737）习题六（62626262）习题七（70707070）2009200920092009．9999，99992习题一1．设x0相对误差为2%，求x，4x的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfxδδ∆=≈得（1）()fxx=时11()()'()()*2%1%22xxxxxxδδδ≈===；（2）4()fxx=时444()()'()4()4*2%8%xxxxxxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）12.1x=̃；（2）12.10x=̃；（3）12.100x=̃。解：由教材9P关于̃1212.mnxaaabbb=±⋯⋯⋯型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)flfl×+×+=2(0.3443100.1352)fl×+=0.3457210×（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))flfl≈×+×=21(0.3197100.259110)fl×+×=0.3456210×易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210×，故（2）的计算结果较精确。4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()fxx=，由(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfxδδ∆=≈解得(())()()'()fxfxxxfxδδ≈=2(())(())22fxxfxxxδδ=i=0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x，（A）11121xyxx−=−++，（B）22(12)(1)xyxx=++；（2）已知1x，（A）211()yxxxxx=++−，（B）11yxxxx=+−−；（3）已知1x，（A）22sinxyx=，（B）1cos2xyx−=；（4）（A）980y=−，（B）1980y=+解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中2sinx使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6．用消元法求解线性代数方程组1515121210102xxxx⎧+=⎨+=⎩假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010(2)xxxx⎧×+×=×⎪⎨×+×=×⎪⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）-（2）得161620.100100.10010x×=×，即120.10010x=×，把2x的值代入（1）得10.000x=；把2x的值代入（2）得110.10010x=×4解1110.1001020.00010xx⎧=×⎪⎨=×⎪⎩不满足（2）式，解1110.1001020.10010xx⎧=×⎪⎨=×⎪⎩不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7．计算函数32()331fxxxx=−+−和()((3)3)12.19gxxxxx=−+−=在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111−×+××−×××=f110657.010144.010105.0122−×+×−×==10.16710×=)19.2(g110219.0)310219.0)81.0((11−××+××−110219.010123.011−×××==10.16910×即1()0.16710fx=×，1()0.16910gx=×而当2.19x=时32331xxx−+−的精确值为1.6852，故()gx的算法较正确。8888．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）6113ii=∑；(2)1613ii=∑。解：（1）623456111111113333333ii==+++++∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001+++++489.0=（2）165432611111113333333ii==+++++∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333+++++489.0=9．已知三角形面积1sin2SabC=，其中02Cπ。证明：()()()()SabCδδδδ≤++。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：1212112(,,,)((,,,))()(,,,)ninniinixfxxxfxxxxfxxxxδδ=∂≈∂∑⋯⋯⋯。得(,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)aSabCbSabCCSabCSabCabCSabCaSabCbSabCCδδδδ∂∂∂=++∂∂∂()sin()sin()cos()sinsinsinabCSbCaaCbabCCabCabCabCδδδδ=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅5=()()()CabCtgCδδδ++()()()abCδδδ≤++（当02Cπ时，CtgC），命题得证。习题二1．找出下列方程在0x=附近的含根区间。6（1）cos0xx+=；（2）3cos0xx−=；（3）sin()0xxe−−=；（4）20xxe−−=；解：（1）设()cosfxxx=+，则(0)1f=，(1)-0.4597f−=，由()fx的连续性知在[]1,0x∈−内，()fx=0有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]0,1；0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；[]0,12．用二分法求方程sin10xx−=在[]0,2内的根的近似值并分析误差。解：令()sin1fxxx=−，则有(0)10f=−，(2)0.81860f=，'()sincos0fxxxx=+，[]0,2x∈所以函数()fx在()0，2上严格单调增且有唯一实根x∗。本题中求根使得误差不超过410−，则由误差估计式12||+−≤−kkabxα，所需迭代次数k满足4110202−+−k，即取28.13≥k便可，因此取14=k。用二分法计算结果列表如下：kkakbkx)(kxf0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.0000557由上表可知原方程的根7343751.1141967714=≈xα该问题得精确解为⋯08711.11415714=α，故实际误差为⋯0000396.03．判断用等价方程()xxφ=建立的求解的非线性方程32()10fxxx=−−=在1.5附近的根的简单迭代法1()kkxxφ+=的收敛性，其中（A）2()11/xxφ=+；（B）32()1xxφ=+；（C）1()1xxφ=−解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。（A）21()1xxφ=+，显然当0x时，()xϕ单调递减，而(1.3)1.59171596φ=，(1.6)1.390625φ=，因此，当[]1.3,1.6x∈时，[]()1.3,1.6xφ∈。又当[]1.3,1.6x∈时，3322'()0.9211.3xxφ=−≤，由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x∈，迭代格式1211kkxx+=+，(0,1,2,)k=⋯收敛。（B）132()(1)xxφ=+，则(1.3)1.390755416φ=，(1.6)1.526921344φ=，22312'()03(1)xxxφ=+(0)x，所以当[]1.3,1.6x∈时，[]()1.3,1.6xφ∈。又当[]1.3,1.6x∈时，222233221.6'()0.552133(1)(11.3)xxxφ=≤++，由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x∈，迭代格式1231(1)kkxx+=+，(0,1,2,)k=⋯收敛。（C）1()1xxφ=−，由于当[]1.3,1.6x∈时，有332211'()1.07582870612(1)2(1.61)xxφ−=≥=−−，所以对任意初值[]1.3,1.6x∈（原方程的根除外），迭代格式111kkxx+=−(0,1,2,)k=⋯发散。84．确定()xxφ=的简单迭代法1()kkxxφ+=的收敛区间[],ab。如果收敛，试估计使精度达到410−时所需的迭代次数并进行计算。（A）22()3xexxφ−+=；（B）25()2xxφ=+；（C）sincos()2xxxφ+=解：（A）方程为0322=−+−xxex，设xxexfx32)(2−+−=，则01)0(=f，0-0.8987)5.0(=f，故有根区间为]5.0,0[，题中22()3xexxφ−+=，3333.0|302||32||)('|0=−×≤−=eexxxφ故迭代公式22()3xexxφ−+=在含根区间]5.0,0[内收敛。（B）方程为05223=−−xx，设52)(23−−=xxxf，则0-1.875)5.2(=f，04)3(=f，故有根区间为]3,5.2[，题中25()2xxφ=+，10.64|5.210||10||)('|33=≤−=xxφ故迭代公式25()2xxφ=+在含根区间]3,5.2[内收敛。（C）方程为02cossin=−+xxx，设xxxxf2cossin)(−+=，则01)0(=f，0-0.6182)1(=f，故有含根区间]1,0[，题中sincos()2xxxφ+=，15.0|20sin0cos||2sincos||)('|=−≤−=xxxφ5．对下点列用埃特金方法加速。01234560.54030,0.87758,0.94496,0.96891,0.98007,0.98614,0.98981.xxxxxxx=======9解：由埃特金加速公式kkkkkkkxxxxxxx+−−−=+++12212)(~计算，结果列下表：kkxkkx~00.5403000.9617812834383110.8775810.9821175178448120.9449