第五讲-不确定性与VNM效用函数

第五讲不确定性与VNM效用函数中国人民大学财政金融学院郑志刚（一）引言从确定性环境到不确定性环境问题：新古典微观经济学如何对（未来）存在不确定性的消费者选择行为进行刻画？VNM效用函数VonNeumannandO.Morgenstein：“TheoryofGamesandEconomicBehavior”（1944）在不确定性条件下，消费者的决策目标为期望效用最大化面对未来的不确定性，消费者所持的风险态度不同，最优的消费选择将不同对于一个风险厌恶的消费者，要使其与风险中性的消费者做出相同的选择，通常要获得更多的效用补偿考察消费者不确定性下的期望效用和通过购买保险而获得的稳定效用二者的一致性不确定性下的收益的确定性等价在VNM效用函数单调的假设下，将不确定性下的消费者选择的目标函数转化为确定性等价本讲的主要内容不确定性下消费者选择行为的刻画VNM效用函数消费者的风险态度的刻画和度量不同风险态度消费者的确定性等价（不确定性下消费者选择的目标函数）（二）博彩与不确定性下消费者行为的刻画不确定性：行动的结果总是被置于某种概率之下消费者的需求受到所消费产品的价格和消费者收入的影响对于消费者无法控制的价格和收入存在不确定性：如价格的上升或下降、收入的增加或减少在经济分析中，通常假设对于每种情形出现的概率是已知的（先验概率）先验概率：或者是由于经验的积累所形成的主观判断，或者是由于建立在科学实验基础上的客观分析后验概率：通过行为所传递的信号对先验概率进行贝叶斯修正先验概率是（理性的）人所共知的经济分析中概率分布的外生给定不确定下消费者的行为刻画（离散型）消费者以p的概率获得结果x，以1-p的概率获得结果y结果：收入、价格变化导致的消费水平的改变等消费者在不确定下的行为与博彩的类似性博彩（Lotteries）一个博彩者或者以p概率获得某项大奖，或者以1-p的概率一无所获博彩（期望）收益的考察ypxp1复合博彩（CompoundLotteries）一次博彩的（期望）收益又成为复合博彩下可能出现的结果之一一个复合博彩的例子一个博彩者以q的概率可以获得的（期望）收益，以1-q的概率可以获得y上述复合博彩的（期望）收益ypxp1yqpxqpyqypxpq111（三）VNM效用函数问题：面对两个不同的博彩（如上例），如何判断消费者更偏好于其中哪一种博彩？消费者的主观心理感受确定性下的研究思路引入一个连续的（效用）函数u来刻画消费者在不确定性下的偏好一个例子如果存在一个效用函数u我们可以由（数量上的判断）来作出消费者更偏好的判断zqwquypxpu11ypxp1VonNeumannandO.Morgenstein（1944）当博彩满足一定的公理时，存在效用函数u，满足u为VNM效用函数含义：一个博彩的VNM效用可以用博彩可能出现的结果的VNM效用的期望表示yupxpuypxpu11VNM效用函数存在需要满足的公理次序完全公理对于两个不同的结果x，y，消费者的偏好序或者是x》y，或者是y》x，或者是x－y如果x》y，且y》z，则有x》z对于不同的结果，消费者的偏好具有一致性（完备性和传递性）连续性公理如果x》y，且y》z，必存在一个概率p，o《p《1，满足px＋（1-p）z－y独立性公理如果x－y，则zpypzpxp11不相等公理如果q》p，一个消费者与相比，更偏好于ypxp1yqxq1RemarkVNM效用函数可能不是唯一的只有满足仿射（Affine）条件时，VNM效用函数才是唯一的仿射函数V（）＝aU（）＋c一个例子yVpxpVcyaUpcxaUpcyUpxpuacypxpaUypxpV11111引入VNM效用函数的意义把以往效用函数仅仅是确定选择变量的函数的情形推广到效用函数既可以是确定的，也可以是不确定选择变量的函数的情形我们可以刻画不确定性下消费者的最优选择行为通过引入VNM效用函数，消费者的最优选择由效用最大化推广为VNM效用函数（期望效用）最大化如果我们用xi，I＝1,2,3….n表示随机变量（RandomVariable），则不确定性下消费者的目标函数为如果xi为离散型，且其概率为pi如果x为连续型，p（x）为其概率密度函数1,11niiniiipxUpXEUdxxpxUXEURemark确定性环境可以通过以1的概率出现确定性环境对应的结果，以0的概率出现其他结果刻画不确定性下对消费者效用的刻画VNM效用函数是一个更具一般意义的函数（四）消费者的风险态度面对未来的不确定性，消费者所持的态度（风险态度）不同，最优的消费选择将不同对于一个风险厌恶的消费者，要使其与风险中性的消费者做出相同的选择，通常要获得更多的效用补偿一个例子一个消费者用10元参加一次博彩该消费者（委托他人博彩）可能以50%的概率赢5元，也可能以50％的概率亏损5元（委托他人）博彩的（期望）收益15×50%＋5×15%＝10如果已知消费者的VNM效用函数为u则消费者直接博彩的期望效用为50％U（15）＋50％U（5）（委托他人）博彩（期望）收益的效用为U（10）注意：（直接）博彩的期望效用和（委托他人博彩）（期望）收益的效用不同对于一些消费者，如果（期望）收益（10）的效用与期望效用相等例如50％U（15）＋50%U（5）＝U（50％×15＋50％×5）消费者风险态度为风险中性（Risk－Neutral）含义：（期望）收益带来的效用和效用的期望无差异对于一些消费者，如果（期望）收益的效用大于期望效用例如U（50％×15＋50％×5）》50％U（15）＋50%U（5）消费者风险态度为风险规避（Risk－averse）含义：消费者更偏好期望收益（希望委托他人博彩，而不愿直接参与博彩）效用消费量效用函数U（50%×15＋50%×5）50%U（15）＋50％U（5）风险规避的消费者其效用函数的可能形式对于一些消费者，如果（期望）收益的效用小于期望效用例如U（50％×15＋50％×5）《50％U（15）＋50%U（5）消费者风险态度为风险爱好（Risk－loving）含义：消费者更偏好不确定性收益（希望直接参与博彩，而不愿委托他人博彩）效用消费量效用函数50%U（5）＋50%U（15）U（50％×5＋50％×15）风险爱好的消费者其效用函数的可能形式直觉：消费者的风险态度与其效用函数的形式有关特别地，与效用函数的凹凸性有关函数凹凸性在数学上与二阶导数有关一个猜测：消费者的风险态度与其效用函数的二阶导数有关Arrow－Pratt绝对风险规避度（MeasureofAbsoluteRiskAverse）Arrow（1970），Pratt（1964）利用效用函数的形式（二阶导数）来判定消费者的风险态度消费者行为的一致性除以效用函数的一阶导数，排除效用函数之外的参数的影响U（x）为效用函数A-P风险规避度R（x）如果R（x）《0，效用函数为凸，消费者为风险爱好如果R（x）＝0，效用函数为线性，消费者为风险中性xuxuxR'''如果R（x）》0，效用函数为凹，消费者为风险规避如果R（x）越大，表示效用函数的凹度越大，因而消费者越倾向于规避风险注意：新古典效用函数刻画的是风险规避的消费者2,0Uxxx作业1：已知消费者有如下的VNM效用函数，计算A-P绝对风险规避度，并判断该消费者的风险态度（1）（2）0,cexUcx（五）不同风险态度消费者的确定性等价消费者的风险态度与消费者的VNM效用函数有关消费者的风险态度将影响消费者的最优选择研究内容：考察不同风险态度下消费者的目标函数的（确定性）等价对于风险中性的消费者由于其VNM效用函数（期望效用）与（期望）收益带来的效用相等例如，pU（x）＋（1-p）U（y）＝U（px＋（1-p）y）给定效用函数单调，最大化VNM期望效用函数等价于最大化期望收益风险中性消费者的目标函数为其期望收益例如，px＋（1-p）y一个例子对于一个风险中性的消费者具有单调的VNM效用函数U消费者的目标函数简化为Maxax＋bEwMaxwMaxEUEWUWEUxEwxw2,0,现在考察风险规避（爱好）的消费者的目标函数的等价假定不确定性使消费者的选择在确定性选择w的基础上或者增加了s，或者减少了s（s可正可负）s服从期望为0，方差为d2的某一分布则风险规避（爱好）消费者的目标函数为EU（w＋s）U为VNM效用函数考虑该消费者通过购买保险获得稳定收益的情形例如，对于消费者的一种选择w（如消费者的个人财富），可能以p的概率因不可抗力损失L，以1-p的概率完好无损消费者可以向保险公司支付保险费q，以希望在灾难发生时获得Q的补偿该消费者的期望效用为pU（w－L＋Q－q）＋（1-p）U（w－q）当L＝Q时（全额补偿）则上式变为pU（w－q）＋（1-p）U（w－q）＝U（w－q）则U（w－q）表示即使在不确定性下消费者可获得的（确定性的）效用上式与不购买保险时消费者的期望效用相等一般形式qwuswEu2,0qxuxEuRemark保险公司提供全额补偿的激励假设有n个消费者购买保险当且仅当保险公司有激励提供保险011niiiiqpQqp为随机收入（具有不确定性的收入）X－q为其确定性等价（CertaintyEquivalence）上式含义：消费者从随机收入中得到的期望效用与以购买保险的方式获得的确定性等价收入中得到的效用相同xqxuxEu问题：消费者支付的保费q？把上式两边在x点按Taylor级数展开函数的局部逼近xRxuxuEqxuExquxuExuxuxuxuExEuxquxuqxu2'''2''2'''2''2''22222确定性等价含义：确定性等价收入由随机收入的期望（x）和风险成本两部分构成当消费者风险规避，R为正，因而风险成本为负当消费者风险爱好，R为负，则风险成本为正xRxqx22xxE对于单调的VNM效用函数u风险规避（爱好）的消费者的目标函数：确定性等价qxMaxqxMaxuxMaxEuxRxqx22一个例子对于一个风险规避的消费者具有单调的VNM效用函数风险规避消费者的目标函数与风险中性消费者的目标函数不同2222222,0,0,xqEwqxEwxweuw作业2：已知s为唯一的随机变量，且s服从期望为0，方差为d2的某个分布证明其中u为VNM效用函数，R(w)为A-P绝对风险规避度wuwRdwuswEu'22（六）消费者理论的总结：需求函数的加总总的需求函数（AggregateDemandFunction）问题：个体需求函数可以简单加总吗？Arrow不可能性定理（ImpossibilityTheorem）通过对拥有不同价值与偏好的个人选择进行加总，我们无法获得理性的集体选择现代公共选择理论研究的起点需求函数可以加总的条件当所有个体的间接效用函数为Gorman形式22112121212121,,,,2,1,,mpxmpxmmpxmmpBpAmmpbpapammpVimpbpampViiii替代方式：建立在国民经济核算体系的总量分析代表性（Representative）个体行为的分析：经济中只有一