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第一章晶体的结构1第一章晶体的结构1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：()()()123222aaijaaijkaaijk⎧k=−++⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=+−⎪⎩根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：()()()1223312πΩ2πΩ2πΩbababa⎧=×⎪⎪⎪=×⎨⎪⎪=×⎪⎩312aaa()31231Ω2aaaa=⋅×=23222222222222222222ijkaaaaaaaaaaaijkaaaaaaaaa−−×=−=++−−−2222aajk=+()()()223132π2π2πΩ22abaajkjaa=×=+=+k同理()()232π2π,bikbiaa=+=+j()()()1232π2π2πbjabiabia⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩kkj由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。第一章晶体的结构2我们知面心立方格子的基矢为()()()123222aajaaiaai⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩kkj()()()1223312πΩ2πΩ2πΩbababa⎧=×⎪⎪⎪=×⎨⎪⎪=×⎪⎩312aaa()31231Ω4aaaa=⋅×=2300222202200222022ijkaaaaaaaaijkaaaaa×==++−2a222444aaaij=−++k()()222223132π2π2πΩ24444aaaabaaijkijaa⎛⎞=×=−++=−++⎜⎟⎝⎠k同理()()232π2π,bijkbijaa=−+=+−k()()()1232π2π2πbijabijkabijka⎧=−++⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=+−⎪⎩k由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子；所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴上的截距为123,,aaa312,,aaahki，第四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为cl。证明：()ihk=−+并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：第一章晶体的结构3()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.证明：林鸿生1.1.4王矜奉1.2.3如图所示，某一晶面MN与六角形平面基矢轴上的截距123,,aaa,,aaOAnOBnOCnhk==−=,ai∠=∠=)且∠=60,120AOBCOBAOC有()C()(AOBOBAOC+=面积面积面积即111sinsinsin222OAOBAOBOCOBCOBOAOCAOC•∠+•∠=•∠o3a1a2aABC代入,,,aiaaOAnOBnOCnhk==−=60,120AOBCOBAOC∠=∠=和∠=，有00111()sin60()sin60()sin120222aaaaaannnhkikhi−+−=iiiiii0得111hkikhi−−=，两边同乘（hki）并移项得()ihk=−+得证（2）由上可知，h，k，i不是独立的，()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.中各i等于111()(00)0,k+=−+=22i=，i，30=41i=，51i=61i=，73i=即得ih=−()()()()()()()()0010001,1331323,1101100,3233213→→→→()()()()()()1001010,0100110,2132133.→→→1.3如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为：（1）简单立方6π；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π（4）六角密积62π；（5）金刚石163π解：设N为一个晶胞中的刚性原子数，R表示刚性原子的球半径，V表示晶胞体积，立方晶格的边长为a，则致密度为：第一章晶体的结构4343NRVπα⋅=（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413333πππ=⋅=RRR341α⋅=a（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数3/4Ra=，则体心立方的致密度为：83)3/4(342343333πππ=⋅=RRaR2α⋅=（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数Ra22=，则面心立方的致密度为：62)22(342343333πππ=⋅=RRaR4α⋅=（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数，Ra2=Rac)3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(3634623ππ43634623π=⋅⋅=⋅⋅=RRRcaR（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为α，则原胞的晶体学常数Ra)3/8(=R，则金刚石的致密度为：16383ππ⋅R)3/8(348343333πα=⋅==RaR.4设某一晶面族的面间距为d，三个基矢312,,aaa1的末端第一章晶体的结构5别落在离原点距离为,的晶面上，试用反证法证明：是互质的。分123,,hdhdhd123,,hhh解：参考王矜奉1.2.4设该晶面的单位法向矢量为n，由已知条件可得112233,,anhdanhda⋅=⋅,nhd⋅=假定不是互质的数，则有公约数p，且p1；设为互质的三个数，满足123,,hhh123,,kkk3121k23hhhpkk===则有112233,,ankpdan,pdankpd⋅=⋅⋅=原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为必定为整数而且得即k今取离112233rlalala=++由于,,lll123112233rndlanlanlan⋅==⋅+⋅+⋅112233dlkpdlkpdlkpd=++1122331lklklkp++=因为上式左而边是整数，右边是分数，显然是不成立的。要式成立，必须满足p=1。而此时是互质的。123,,hhh1.5证明：在立方晶系中，面指数为()111hkl和()223hkl的两个晶面之间的夹角满足()()1212121222coshhkkllθ++=解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数a，则晶胞基矢为,122222211122hklhkl++++i123,,aaiaajaak===其倒格子基矢为123222,,bibibiaaaπππ===倒格子矢量为1232()hKhbkblbhikjlkaπ′=++=++第一章晶体的结构6)的法线方向。晶面族的法线方向对应倒格矢代表晶面族(hkl()111hkl11112()Khikjlakπ=++晶面族的法线方向对应倒格矢()223hkl22222()Khikjlakπ=++设两法线之间的夹角满足KK122cosKKγ1=ii111222121211111122222222()()cos2222()()()()hikjlkhikjlkKKaaKKhikjlkhikjlkhikjlkhikjlkaaaaππγππππ++++==++++++++iiiiii()()1212121212222222111222coshhkkllhklhklγ++=++++i1.6有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢（以nm为单位）分别为ia31=，ja32=，)(5.13kjia++=。求：）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？该晶体的倒格子基矢；角余弦为多少？布喇菲格子晶体中原子位置可以认为与格点重合。由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。试（1）此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？（2（3）（4）密勒指数为（121）晶面族的面间距；（5）原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？（6）[111]与[111]晶列之间的夹解：参考徐至中1-5，中南大学1.17（1）按基矢123aa在空间作重复平移，就可得到它的,,a3a2a1a，因为此晶体是简单格子，因此（2）原胞体积()()2732313aΩ=31.513.510aaijijkm−⎡⎤•×=•×++=×⎣⎦晶胞体积()()2737Vaa−=•×333210aijkm=•×=×因为2Ω=V，知该晶体属于立方晶系；奉1.参考王矜2.6我们可以构造新的矢量123()acaijk=−=−++第一章晶体的结构723()2acbijk=−=−+33()2aabcijk=+−=+−123,,aaa对应体心立方结构.满足选作基矢的充分条件.可见基矢为,，，,的晶体为体心立方结构.（3倒格子基矢的定义123,,aaaia31=ja32=)(5.13kjia++=）由可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⋅aaa[[1⎪⎨⎧=⋅=×⋅×=−=−⋅=×⋅×=−=−⋅=××=kkaaaaabkjkjaaaabkikiaaab5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][]2)(325.13)(5.42]][232121332113232321πππππππππ（4）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3211121bK⋅112222bb−+==ππd103030352(322==−+=kjiππ以上是参考中南大学的，有些不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然《固体物理学》式（1-18）也适合计算相应面间距，但此时的倒格子基矢也应是对应的。从体心立方晶格的特点，结合图，易知bjck⎪=⎨⎪=⎪⎩，倒格基矢3ai⎧=⎪332aiπ32323bjckππ∗⎧=⎪∗∗⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎪1211212222422121333dabcijkππππππ∗∗∗====⋅+−⋅+−K6（5）由于面密度，其中是面间距，dρdρβ=是体密度。对布喇菲格子，ρ等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为，则该晶面族的面间距应为最大值，所以有)(321hhh321hhhd第一章晶体的结构833221122d==321321bbbKhhhhhhhhh++ππmax)2(3])2([32=π22132121321=−−++=−−++kjikjihhhhhhhhhhπ由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距2/3，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。（6）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为321321321321111111111111arccosRR⋅)()(aaaaaaaaaaaaRR−+⋅++−+⋅++=⋅=α53.485.15.15.15.15.45.4)5.15.15.1()5.15.45.4(arccos=−+⋅++−+⋅++=kjikjikjikji1.7的基矢为1.8六角晶胞jiaaa31+=22jiaaa2322+−=kac=3求倒格子基矢。解：参考王矜奉1.2.8，中南大学1.2.13212333[]()[(aa3)()]22222aacac×=jk根据倒格子基矢的定义可知：Ω=⋅×=+⋅−+aaaiji3()()2312π×aa222aacπ−+×=Ωikcaacac2232232ji+=πj=Ωb＝)32(2ji+aπ第一章晶体的结构93122π×=Ωaab3()()222acaπ×−+=Ωkijcaacac2232232ji+−=π＝)32(2ji+−aπ1232π×=Ωaab12333()()22222[]aaaaπ+×−+=⋅×ijijaaacaa2223232kπ==kcπ21.9矢量a，，构成正交系。证明晶面族的面间距为bc)(hkl22)()(1clbk+2)(ahdhkl+=⎪⎩⎪⎨⎧===kajaiacba321解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：由此可求得其倒格子基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧×⋅×=×⋅×=×⋅×=aaaabaaabaaaabπππ[[2[[2[[2211321322121======kkajjaaiiacababcbacabcabcabcππππππ2)(2]]2)(2]]2)(2]]323