大学数学毕业论文：关于函数的一致连续问题

关于函数的一致连续问题摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.关键词:函数;一致连续;连续在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础,但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的条件、运算性质.1一致连续及其相关概念定义1设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指,x0∈I,ε0,δ0,当x∈I且x-x0δ时,有f(x)-f(x0)ε.定义2设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对ε0,δ0(其中δ与ε对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要x-yδ,就有f(x)-f(y)ε.定义3设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少一个ε00,对δ0,都可以找到x′,x″∈I,满足︱x′-x″︱δ,但︱f(x′)-f(x″)︱≥ε0.评注1比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的δ不仅与ε有关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关,与x0无关,即对于不同的x0,δ是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小.用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz条件︱f(x′)-f(x″)︱≤L︱x′-x″︱,x′,x″∈I,其中L为某一常数,此条件必成立.特别地,若f′(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立.2一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1(G·康托定理)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε0,可以分区间[a,b]成有限多个小段,使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε,以下用反证法证之,若上述事实不成立,则至少对于某一个00而言,区间[a,b]不能按上述要求分成有限多个小段.将[a,b]二等分为[a,c0]、[c0,b],则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段,把它记为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分为[a1,c1]、[c1,b1],依同样的方法取定其一,记为[a2,b2].如此继续下去,就得到一个闭区间套[an,bn],n=1,2,…,由区间套定理知,唯一的点c属于所有这些闭区间.因c∈[a,b],所以f(x)在点x=c连续,于是可找到δ0,使︱x-c︱δ(x∈[a,b])时,︱f(x)-f(c)︱ε0/2.注意到c=limlimnnnnab我们可取充分大的k,使︱ak-c︱δ,︱bk-c︱δ,从而对于[ak,bk]上任意点x,都有︱x-c︱δ,因此,对于[ak,bk]上的任意两点x1,x2都有︱f(x1)-f(x2)︱≤︱f(x1)-f(c)+f(c)-f(x2)︱0122=0这表明[ak,bk]能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个[ak,bk]上任意两点的函数值之差已小于0了),这是和区间[ak,bk]的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确.评注3定理1对开区间不成立.例如函数f(x)=1x在(0,1)的每一个点都连续,但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的δ0,令x1=δ,x2=2δ,则︱x1-x2︱=δ,而︱f(x1)-f(x2)︱=111_22,这时︱x1-x2︱可以任意小,但︱f(x1)-f(x2)︱可以任意大.函数f(x)=tanx在(-2,2)也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数,而sin1x在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin1x=1,sin21x=-1.定理2f(x)在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足limn(xn-yn)=0的任意两数列{xn}、{yn},必有limn[f(xn)-f(yn)]=0.证明必要性.若f(x)在I上一致连续,由一致连续性的定义,ε0,δ0,当︱xn-yn︱δ时,︱f(xn)-f(yn)︱ε,即任两数列{xn}、{yn},当n→∞时,︱xn-yn︱→0,则必有︱f(x0)-f(yn)︱→0.充分性.用反证法,若两数列{xn}、{yn},当n→∞时,︱xn-yn︱→0,︱f(xn)-f(yn)︱→0而f(x)在I上不一致连续,那么一定ε00,对δn0,存在xn,yn,当︱xn-yn︱δn时,︱f(xn)-f(yn)︱≥ε0,取δn→0,我们得到两数列{xn}、{yn},当n→∞时,xn-yn→0,但︱f(xn)-f(yn)︱≥ε0,这与假设limn[f(xn)-f(yn)]=0矛盾.评注4定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如,函数f(x)=sinx,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致连续.事实上,当x≠0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的,同时,由于︱f(x)︱≤1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=2n,xn′=21n,则当0ε01时,不论δ0取得多么小,只要n充分大,总可以使︱xn-xn′︱=2(1)nnδ,但是︱f(xn)-f(xn’)︱=1ε0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续.定理3设f(x)在有限区间I上有定义,那么f(x)在I上一致连续的充要条件是对任意柯西(Cauchy)列{xn}I,{f(xn)}R′也是Cauchy列.证明必要性.因f(x)一致连续,即对ε0,δ0,对x′,x″∈I,只要︱x′-x″︱δ,就有︱f(x′)-f(x″)︱ε.设{xn}I为Cauchy列,于是对上面的δ0,必N0,使当n,mN时,有︱f(xn)-f(xm)︱ε,即{f(xn)}是Cauchy列.充分性.若不然,必ε00,x′n,x″n∈I,虽然xn′-xn″1n,但是︱f(xn′)-f(xn″)︱≥ε0,由{xn′}有界知,存在收剑子列{xnk′},从而{xnk″}也收剑于同一点,显然xn1′,xn1″,xn2′,xn1″,…,是Cauchy列,但是f(xn1′),f(xn1″),f(xn2′),f(xn2″),…,不是Cauchy列,此为矛盾,故f(x)在I上一致连续.定理4设f(x)在有限区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证明充分性.令F(x)=f(a+0)(x=a),f(x)(x∈(a,b)),f(b-0)(x=b),则F(x)∈C[a,b],因此F(x)在[a,b]上一致连续,从而f(x)在(a,b)上一致连续.必要性.已知f(x)在(a,b)上一致连续,所以对于ε0,δ0,当x′,x″∈(a,b)且︱x′-x″︱δ时,︱f(x′)-f(x″)︱ε成立.对端点a,当x′,x″满足0x′-a2,0x″-a2时,就有︱x′-x″︱≤︱x′-a︱+︱x″-a︱δ,于是︱f(x′)-f(x″)︱ε.由Cauchy收敛准则,f(a+0)存在且有限,同理可证f(b-0)存在且有限.评注5(1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件充分但不必要.例如f(x)=x,φ(x)=sinx,x∈(-∞,+∞)及g(x)=x,x∈(0,+∞)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-∞)=-∞,f(+∞)=g(+∞)=+∞,φ(+∞)和φ(-∞)不存在.(2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数在所示区间上的一致连续性.i)f(x)=sinxx(0xπ);ii)f(x)=xecos1x(0x1).解i)因0sinlimxxx=1,sinlimxxx=0,所以f(x)在(0,π)内一致连续.ii)因limx→0+0excos1x不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续.(3)由定理知,若f(x)∈C(a,b),则f(x)可连续延拓到[a,b]上的充要条件是f(x)在(a,b)上一致连续.定理5函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是,对ε0及x,y∈I,总正数N,使正︱f(x)-f(y)︱N︱x-y︱.(1)恒有︱f(x)-f(y)︱ε.(2)证明因为f(x)在I上一致连续的定义等价于:对ε0,δ0,使得对于x,y∈I,如果︱f(x)-f(y)︱≥ε,(3)就有︱x-y︱≥δ.而题设条件为对ε0,N0,对x,y∈I,当不等式(3)成立时,︱f(x)-f(y)︱≤N︱x-y︱.(4)充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得︱x-y︱≥1N︱f(x)-f(y)︱，再由(3)式得︱x-y︱≥N,所以对给定的ε0,只要取δ=N,当x,y∈I,且满足(3)时,就有︱x-y︱≥δ成立.必要性.若f(x)在I上一致连续,则对任给的ε0,存在δ0,使当x,y∈I,且满足不等式(3)时,就有不等式︱x-y︱≥δ成立,故整数k,使得kδ≤︱x-y︱≤(k+1)δ.(5)不妨设xy,将[x,y]分成k+1等分,记xi-1(i=1,…,k+1)为其分点,由(5)式知︱xi-xi-1︱=︱1xyk︱δ,故︱f(xi)-f(xi-1)︱ε,i=1,2,…,k+1,︱()()fxfyxy︱≤{11ki︱()(1)fxifxi︱}/(1)2kkk令N=[2]+1,则当I中的点x,y使(3)式成立时,必有(4)式成立,从而(1)式成立时,有(2)式成立.评注6本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范,它在理论研究上具有一定的意义.2.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质,归结如下几个命题.命题1设φ(x)与ψ(x)在区间I上一致连续,则αφ(x)+βψ(x)在I上一致连续(α,β为任意常数).命题2设φ(x),ψ(x)在有限区间I上一致连续,那么ψ(x)ψ(x)在I上也一致连续.命题3设φ(x),ψ(x)在无限区间I上一致连续且有界,那么φ(x)ψ(x)在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少,例如f(x)=x在(-∞,+∞)上一致连续,但无界,而f(x)·f(x)=2x在(-∞,+∞)上不一致连续.命题4设φ(x)在区间I上一致连续且inf()Fx0,那么1f在I上也一致连续.最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)=x在(0,+∞)上一致连续而它的反函数1f(x)=2x在(0,+∞)内不一致连续,但可以证明在有限区间上,结论仍真.参考文献:[1]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.93—103.[2]王向东.数学分析中的概念与方法[M].上海:科学技术文献出版社,1989.278—299.[3]周家云,刘一鸣.数学分析的方法[M].济南:山东教育出版社,1991.48—62.