小概率

组长：蒋盼盼成员：陈立方钱文攀童勇杨挺钱忆宁来彬叶桑名词解释：在概率论中将概率很小（小于0.05）的事件叫做小概率事件。小概率事件的原理又称为似然推理，即：如果一个事件发生的概率很小，那么在一次试验中，可以把它看成是不可能事件。设某试验中出现事件的概率为x，不管x﹥0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次。因为第一次试验中不出现的概率为1-x，前次都不出现的概率为(1-x)^n,因此前次试验中至少出现一次的概率为1-(1-x)^n,当时，概率趋近于1，这表示迟早出现一次的概率为1。出现以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见必然再次出现。小概率事件原理是统计假设检验中拒绝还是接受原假设的依据，也是人们在实践中总结出来而被广泛应用的一个原理。•推算原理：概率性质的反证法。人们首先根据问题提出假设，然后根据一次实验的结果进行计算，最后按照一定的概率标准做出鉴别。若小概率事件出现了，则拒绝假设；若小概率事件没发生，则不拒绝假设。小概率事件迟早会发生小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将会发生。下面我们将说明这一结论。在随机试验中，设事件A出现的概率为，设表示A在第k次试验中出现”,则，，在前n次相互独立的试验中一次都不出现的概率为，则在前次相互独立的试验中A至少出现一次的概率为，无论如何小，当n时，p1，这说明小概率事件迟早会发生。kA)(kAP1k）（APnkkAPAPAPAAAP)1()()()()(2121nkAAAPP)1(1)(121n小概率事件和不可能事件之间的区别与联系小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来讲，是有区别的。所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。比如，某人某时刻既在甲地又在乙地，这属于自相矛盾的事件，所以这是一个不可能事件。而随着社会的不断进步和发展，人的能力与素质的不断提高，有些不可能事件可能会转变成为小概率事件。比如，一直让我们引以为豪的110米栏的跨栏项目，在2006年7月12日之前，打破12秒91的世界纪录是一件不可能事件，但是，在7月12日这一天，我国运动员刘翔跑出了12秒88的好成绩，成功打破了12秒91的世界纪录这一事件，由一不可能事件转换成一小概率事件。经典的小概率事件研究视频欣赏例1：某厂有一批产品，共有200件，经检验合格才能出厂。按国家标准，次品率不得超过1%，今从中任抽5件，发现这5件中含有次品。问这批产品是否能出厂？（小概率事件在假设检验中的应用）解：设这批产品的次品率为p，问题化为：如何根据抽样的结果来判断不等式“”是否成立？要检验的假设是“”。首先，我们假定成立，此时，200件中最多有两件次品，从中任取5件，令A“没有取到次品”，由古典概型知件中有没有次品时当件次品时件中有当件次品时件中有当200/1200/2200/)(520052005200519952005198CCCCCCAP1.00p1.00p显然，从而，任抽5件，出现次品的概率95.0196199200194197198)(52005198CCAP05.095.01)(1AP以上结果说明，如果“”，那么平均在100回抽样中，事件=“任取5件，出现次品”，最多出现5回。也就是说，在一次抽样中，将很少遇到发生。1.00pA由小概率原理可知，小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的，如果在一次试验中，某个小概率事件竟然发生了，那么就认为这是一种反常现象。然而现在的事实是，在一次具体的抽样实践中，竟然发生了，这是“不合情理”的。为什么会出现这种情况呢？其根源在于我们假定了，因此“”的假设是不能接受的。这只能说明该产品次品率不止0.01，故判断不能出厂。1.00p1.00p解：事实上，将52张牌分给4个人，每人得到13张同一花色的牌的概率为这个数值是非常小的，此事件即为小概率事件，现在某人竟然断言这样的小概率事件在一次发牌时就会出现，则自然认为这是不正常的，我们怀疑其在发牌时有作弊行为。所以也借此警告赌徒们：赌局危险，回头是岸！例2：有52张洗均匀的扑克牌，把牌分给4个人。如果某人断言这4个人在一次发牌中每人将得到13张同一花色的牌，你认为这正常吗？2841047.4!)52()!13(!4小概率事件设置的陷阱我们经常见到街头摸奖的骗局，为什么说它是骗局呢？我们在此用个常见的例子分析一下：我们不妨来看看下面的彩球游戏。准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，12个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为:6个全红赢得100元,5红1白赢得50元,4红2白赢得20元,3红3白输掉100元,2红4白赢得20元,1红5白赢得50元,6个全白赢得100元。如果你摸出了3红3白则输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而不用花钱，怎么样？动心了吗？［注：这个规则有时称为“袋子”模型］乍一看，此规则似乎处处对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次。然而，顾客一个个都免不了扫兴而去，一连十几个人各试了5次，结果都以失败告终，每人输的钱在60元到130元不等，而且试的次数越多，输的越多。游戏的妙处就在于这7种情况的发生不是等可能的。由于球的形状、大小、重量等完全一样，所以在我们无法看到的情况下是无法区分红球和白球的，任意摸6个球，不论红或白，共有36种可能，由此就可以计算出摸到3红3白的概率为100/231。可见，输钱的可能性约占0.5，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗，这7种情况出现的概率如下所示：6个全红1/924，5红1白3/77，4红2白75/308，3红3白100/231，2红4白75/308，1红5白3/77，6个全白1/924•通过以上对小概率事件的分析可知，小概率事件是一个简单但是很有实用价值的原理。虽然小概率事件在一次试验中不可能发生，但我们也不能忽视小概率事件，事件重复的次数多了，小概率事件迟早也会发生。但我们也不需要把注意力总是停留在小概率事件的极端个别现象上。小概率事件原理的应用是十分广泛的，它是概率论的精髓，是统计学发展、存在的基础，它使得人们在面对大量数据而需要做出分析与判断时，能够依据具体情况的推理来做出决策，从而使统计推断具备了严格的数学理论依据。小结：通过以上对小概率事件的分析可知，小概率事件是一个简单但是很有实用价值的原理。虽然小概率事件在一次试验中不可能发生，但我们也不能忽视小概率事件，事件重复的次数多了，小概率事件迟早也会发生。但我们也不需要把注意力总是停留在小概率事件的极端个别现象上。小概率事件原理的应用是十分广泛的，它是概率论的精髓，是统计学发展、存在的基础，它使得人们在面对大量数据而需要做出分析与判断时，能够依据具体情况的推理来做出决策，从而使统计推断具备了严格的数学理论依据。谢谢观赏！