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14.3因式分解14.3.1提公因式法第十四章整式的乘法与因式分解学习目标一、基本目标【知识与技能】1．明确提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系．2．能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式．【过程与方法】1．经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，根据化归思想方法进行因式分解．【情感态度与价值观】培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动、积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．二、重难点目标【教学重点】用提公因式法把多项式分解因式．【教学难点】整式乘法与因式分解之间的关系，正确确定多项式的最大公因式．如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方法表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?问题引入1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=；(2)(x+1)(x-1)=；(3)(a+b)2=.ma+mb+mcx2-1a2+2ab+b22.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()(3)a2+2ab+b2=()2ma+b+cx+1x-1a+b都是多项式化为几个整式的积的形式.比一比，这些式子有什么共同点？因式分解1新课讲解把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即新课讲解下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个B因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．新课讲解例1【练习】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（填序号），不是的请说明理由.①②③④⑤1x⑥③⑥am+bm+c=m(a+b)+c；24x2y=3x·8xy；x2-1=(x+1)(x-1)；(2x+1)2=4x2+4x+1；x2+x=x2(1+)；2x+4y+6z=2(x+2y+3z).最后不是积的运算.因式分解的对象是多项式.是整式乘法.每个因式必须是整式.新课讲解pa+pb+pc多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.相同因式p问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？x2＋x相同因式x用提公因式法分解因式2新课讲解一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c)pa+pb+pcp=新课讲解找3x2–6xy的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次数1问题2：如何确定一个多项式的公因式？新课讲解3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母.新课讲解找一找：下列各多项式的公因式是什么？3aa22(m+n)3mn-2xy(1)3x+6y；(2)ab-2ac；(3)a2-a3；(4)4(m+n)2+2(m+n)；(5)9m2n-6mn；(6)-6x2y-8xy2.新课讲解(1)8a3b2+12ab3c；把下列各式分解因式：分析：提公因式法基本步骤（分两步）：第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.新课讲解例2解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.新课讲解【练习】因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).(2)原式＝(2a－3)(b＋c).新课讲解（1）12x2y+18xy2=3xy(4x+6y)；解：（1）错误，公因式没有提尽，还可以提出公因式2.正解：原式=6xy(2x+3y).【易错】下面的因式分解正确吗？如果有错，错在哪里？怎样改正？（2）3x2-6xy+x=x(3x-6y)；（3）-x2+xy-xz=-x(x+y-z).（2）错误，提公因式后漏项1.正解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1).（3）错误，提出负号后括号里的项没变号.正解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).新课讲解计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－20.18×14.(2)原式＝20.18×(29＋72＋13－14)＝2018.＝13×20＝260.解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．新课讲解例3已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入计算.新课讲解例41.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（）A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn22.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是（）A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）BCD随堂即练4.把下列各式分解因式：(1)8m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=_____________；(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.(y-x)(2y-x)5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于__________.3a(x－y)2随堂即练6.简便计算：(1)1.992+1.99×0.01；(2)20172+2017-20182；(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2017×(2017+1)-20182=2017×2018-20182=2018×(2017-2018)=-2018．解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98.(3)原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100.随堂即练解：(1)∵2x+y=4，xy=3，∴2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.12将x=代入上式，得12原式=4.随堂即练课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a、b.2．分解因式的步骤：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解．因式分解定义ma+mb+mc=m(a+b+c)方法提公因式法公式法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数基本步骤（分两步）：第一步找公因式；第二步提公因式（下节课学习）注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式要提尽；3.不要漏项；4.提负号要注意变号课堂总结