全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

1第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(__，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf____________.3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy_____.二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.2第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中||1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIexdxn。（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、（15分）设函数()fx在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0x，使得0()0fx,证明：方程()0fx在(,)恰有两个实根。三、（15分）设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。四、（15分）设10,,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。六、(15分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxxdyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxxdyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxxdyxy。3第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一．计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim...12nnnnn；（3）已知2ln1arctanttxeyte，求22dydx。二．（10分）求方程2410xydxxydy的通解。三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且'0,0,0fff均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,kkk，使得12320230lim0hkfhkfhkfhfh。四．（17分）设2221222:1xyzabc，其中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五．（16分）已知S是空间曲线22310xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是S在,,Pxyz点处的切平面，,,xyz是原点到切平面的距离，,,表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）,,SzdSxyz；（2）3SzxyzdS六．（12分）设f(x)是在,内的可微函数，且fxmfx、，其中01m，任取实数0a，定义1ln,1,2,...,nnafan证明：11nnnaa绝对收敛。七．（15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足021ff，201,1fxfxdx、？请说明理由。4第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一.每题6分共30分1.求极限21)!(limnnn；2.求极限dttttxxxx13cossinlim；3.求通过直线03455032:zyxzyxL的两个相互垂直的平面21,，是其中一个平面过点（1,3,4）；4.已知函数byaxeyxuz),(，且02yxu，确定常数a和b，使函数),(yxzz满足方程02zxzxzyxz；5.设函数)(xuu连续可微，1)2(u，且udyuxudxyxL)()2(3在右半平面上与路径无关，求)(xu；二.（10分）计算dxxex02|sin|；三.（10分）求方程50121sin2xxx的近似解，精确到001.0；四.（12分）设函数)(xfy二阶可导，且0)0(,0)0(,0)(ffxf，求uxfufxx330sin)()(lim，其中u是曲线)(xfy上点))(,(xfxP处切线在x轴上的截距；五.（12分）求最小实数C，使得对满足1|)(|10dxxf的连续的函数)(xf，都有Cdxxf10)(；六.（12分）设)(xf为连续函数，0t，区域是由抛物面22yxz和球面2222tzyx所围起来的上半部分，定义三重积分dvzyxftF)()(222，求)(tF；七.（14分）设1nna与1nnb为正项级数那么（1）若0)1(1limnbnnnbaan，则1nna收敛；（1）若0)1(1limnbnnnbaan，则若1nnb发散，1nna收敛。5第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、解答下列各题（每小题6分共24分）1.求极限2lim1sin14nnn.2.证明广义积分0sinxdxx不是绝对收敛的3.设函数yyx由323322xxyy确定，求yx的极值。4.过曲线30yxx上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。二、（12分）计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx三、（12分）设fx在0x处存在二阶导数0f，且0lim0xfxx。证明：级数11nfn收敛。四、（12分）设,0fxfxaxb，证明2sinbafxdxm五、（14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、（14分）设22aaCydxxdyIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正向。求极限limarIr七（14分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和。6第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1.已知xey1和xxey1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_2.设有曲面222:yxzS和平面022:zyxL。则与L平行的S的切平面方程是_3.设函数)(xyy由方程xydttx124sin所确定。求0xdxdy_____4.设nknkkx1)!1(。则nnxlim_5.已知310)(1limexxfxxx。则20)(limxxfx__二（12分）设n为正整数，计算121lncosnedxxdxdI。三（14分）设函数)(xf在]1,0[上有二阶导数，且有正常数BA,使得|()||()|fxAfxB，。证明：对任意]1,0[x，有22|)('|BAxf。四（14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积为2)3(3hhR。球冠面积为Rh2；（2）设球体12)1()1()1(222zyx被平面6:zyxP所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分zdxdyydzdxxdydzI五（15分）设f在],[ba上非负连续，严格单增，且存在],[baxn，使得bannndxxfabxf)]([1)]([。求nnxlim六（15分）设2222221nnnnnnnAn。求nnAn4lim7第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn.（2）设函数,zzxy由方程,0zzFxyyx所决定，其中,Fuv具有连续偏导数，且0uvxFyF。则zzxyxy.（3）曲面221zxy在点1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.(4)函数3,5,00.0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0x收敛的值是.（5）设区间0,上的函数ux定义域为的20xtuxedt，则ux的初等函数表达式是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、（12分）设fx在,ab内二次可导，且存在常数,，使得对于,xab，有fxfxfx，则fx在,ab内无穷次可导。四、（14分）求幂级数30211!nnnxn的收敛域，及其和函数。五、（16分）设函数fx在0,1上连续，且11000,1fxdxxfxdx。试证：（1）00,1x使04fx（2）10,1x使14fx六、（16分）设,fxy在221xy上有连续的二阶偏导数，且2222xxxyyyfffM。若0,00,0,00,00,xyfff证明：221,4xyMfxydxdy。8第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，满分30分）1、若fx在点xa可导，且0fa