考研数学：2000年考研数学三-真题及答案(精校版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）（1）设,xxzfxygyy，其中,fg均可微，则zx.【考点】求复合函数的一阶偏导数.【解】应填1221zyyffgxyx.由复合函数偏导数公式,有1221()zyfyfgxyx,如上所填.（2）21.xxdxee【考点】计算广义积分.【解】应填4e.22222111111arctanxxxxxxxdxeedxdeeeeeeeee1()244ee.（3）若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1111,,,2345，则行列式1.BE四、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设对任意的x，总有()()()xfxgx，且lim()()0xgxx，则lim()xfx（）（A）存在且一定等于零.（B）存在但不一定等于零.（C）一定不存在.（D）不一定存在.【考点】极限的性质.【分析】不要误认为本题的条件与夹逼定理的条件等价.由lim()lim()xxgxx,可推出lim()()0xgxx,但反过去推不出来.【解】应选(D).用排斥法.设22221()22xxfxxx,满足条件2222211limlim0222xxxxxxx,并且22221lim1,122xxxxx,由夹逼定理知lim()1xfx,所以不选(A),也不选(C).又如设6262442()11xxxxfxxx,满足条件626224442limlim0111xxxxxxxxxx,但是由于6224()1xxfxxx,有lim()xfx,不选(B),所以选(D).【评注】因为最终结论是“(D)不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”.（2）设函数()fx在点xa处可导，则函数()fx在点xa处不可导的充分条件是（）（A）()0()0fafa且（B）()0()0fafa且（C）()0()0fafa且（D）()0()0fafa且【考点】绝对值函数的可导性与不可导性.【解】应选(B).方法1:排斥法.(A)的反例:2()fxx,满足(0)0(0)0ff且,但2()fxx在0x处可导;(C)的反例:()1fxx,满足(0)10,(0)10ff,但()1fxx当1,1x,在0x处可导;(D)的反例:()1fxx,满足(0)10,(0)10,ff但()1fxx当1,1x,在0x处可导;故选(B).方法2:推理法.去证明当(B)成立时必不可导.由(B)的条件()0fa,则()()()()()limlimlim,xaxaxafxfafxfxfaxaxaxa()()()()limlim(),xaxafxfafxfafaxaxa(1)()()()()limlim().xaxafxfafxfafaxaxa(2)可见，()fx在xa处可导的充要条件是（1）=（2），为()0,()0.fafa即所以当()0fa时必不可导.选(B).（3）设123,,是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且()3A秩，1231234,0,123TT，，，，，，c表任意常数，则线性方程组AXb的通解X（）（A）11213141c（B）10213243c（C）12233445c（D）13243546c（4）设A为n阶实矩阵，TA是A的转置矩阵，则对于线性方程组():0IAX和():0TIIAAX，必有（）（A）()II的解是()I的解，()I的解也是()II的解.（B）()II的解是()I的解，但()I的解不是()II的解.（C）()I的解不是()II的解，()II的解也不是()I的解.（D）()I的解是()II的解，但()II的解不是()I的解.三、（本题满分6分）求微分方程220xyye满足条件(0)0,(0)1yy.【考点】求二阶常系数线性微分方程的解.【解】对应的齐次微分方程为20yy,其特征方程为220rr,特征根为120,2rr.齐次方程的通解为212.xYCCe非齐次方程的自由项2xe指数上的2为特征根的单重根,故命特解2,xyAxe求得22222,44xxxxyAeAxeyAeAxe,代入原方程,约去2xe,再比较等式左、右两边x的同次幂系数,得121,2AA,故得特解21,2xyxe通解为22121.2xxyYyCCexe再由初始条件(0)1,(0)1,yy得12211,21,2CCC得1231,,44CC满足初始条件的特解为2311()442xyxe.四、（本题满分6分）计算二重积分22222,4Dxydaxy，其中D是由曲线22(0)yaaxa和直线yx围成的区域【考点】二重积分的计算.【解】画出积分区域D如图.由被积函数的形式以及积分区域形状,易见采用极坐标方便.曲线22yaax化为222()()xyaaya,极坐标方程为2sin(0).ra于是22202sin2222204.44aDxyrIdddraxyar命2sin,00;2sin,ratrtrat有时时，0022200444sin2(1cos2)Idatdtdatdt20224112(sin2)()2162ada.五、（本题满分6分）假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是112218,12,PQPQ其中1P和2P分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），1Q和2Q分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是25CQ，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即12QQQ（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.【考点】以经济为背景的无条件最值与有条件最值问题.【解】建模:由题意,总利润函数1122(25)LRCpQpQQ112212[2()5]pQpQQQ221212216105,QQQQ120,0.QQ其中R为收益,12QQQ为销售总量.(1)121241602100LLQQQQ命命，，解得1245QQ，.相应地1210,7.pp在120,0QQ的范围内驻点唯一,且实际问题在120,0QQ范围内必有最大值,故在1245QQ，处L为最大值.22max245164105552()L万元.(2)若两地的销售单价无差别,即12pp,于是1218212QQ,得1226QQ,在此约束条件下求L的最值.以下用两个方法.方法1:用拉格朗日乘数法,命2212121212(,,)216105(26),FQQQQQQQQ1141620FQQ命，222100FQQ命，12260.FQQ命解得1254QQ，,以下讨论与(1)同,得22max254165104549()L万元.方法2:由1226QQ代入L消去一个变量得211660101,LQQ1112600,dLQdQ等得15Q，为L的唯一驻点.当1111050,50dLdLQQdQdQ时当时,故15Q为L的唯一极大值点,所以是最大值点,此时24Q,2max6560510149()L万元.六、（本题满分7分）求函数arctan2(1)xyxe的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.【考点】求单调区间、极值与该函数图形的渐近线【解】2arctan221xxxyex,命0,y得驻点120,1.xx列表x,1-11,000,y+0-0+y42e2e严格单调增的区间为,1与0,；严格单调减的区间为1,0.2(0)fe为极小值,4(1)2fe为极大值.以下求渐近线.111222()lim,lim[()]2,()lim1,lim[()]2,xxxxfxaebfxaxexfxabfxaxx渐近线为1122(2)2yaxbexyaxbx及,共两条.七、（本题满分6分）设40sin,0,1,2,,nnIxcosxdxn求0.nnI【考点】利用幂级数求数项级数的和,计算定积分.【解】1440012sinsinsin,12nnnnIxcosxdxxdxn1001212nnnnnIIn.考虑幂级数101(),1nnSxxn按通常求收敛半径的办法,其收敛半径1,11R在，内,11000111()111nnnnnnSxxxxnnx,001()(0)()0ln11xxSxSSxdxdxxx,以21,12x代入,得22()ln(1)ln(22)22S.即0ln(22)nnI.八、（本题满分6分）设函数()fx在0,上连续，且00()0,()cos0fxdxfxxdx，试证明：在(0,)内至少存在两个不同的点12,，使12()()0.ff【考点】积分中值定理,罗尔定理,变上限函数,分部积分,或反证法.本题是一道涉及积分多方面的题,有相当的难度.【解】令0()(),Fxftdt则有(0)()0,FF又因为000()coscos()fxxdxxdFx00()cos()sinFxxFxxdx0()sinFxxdx令0()()sin,GxFxtdt则(0)()0,GG于是存在(0,),使()sin0,F因为当(0,),这样就证明了.(0)()()0FFF再对()Fx在区间0,,,上分别用罗尔定理知，至少存在120,,,使12'()'()0FF即12()()0ff九、（本题满分8分）设向量组，123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,)TTTTabc试问,,abc满足什么条件时，（1）可由123,,线性表出，且表示唯一？（2）不能由123,,线性表出？（3）可由123,,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.十、（本题满分9分）设有n元实二次