第五节两个重要极限-(2)

第五节两个重要极限一．0sinlim1xxxxy01xsinxx10.50.050.010.0010.841470.958850.999580.999980.99999980sinlim1xxx于是得到第一个重要极限：显然0lim1sinxxx00“”未定式0xxsin()lim1()uxux推广形式为：如果，或时，，则x()0ux020202sin5sin(36)2tan1lim2lim3lim2sin35624lim(5)limlimsinsin2sin(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxx（）；（）；（）；（）；；(6)例1:求下列极限解:00sin5sin51limlim55xxxxxx（）15522sin(36)sin3(2)2limlim22xxxxxx（）2sin3(2)lim33(2)xxx13302tan3limxxx（）0sin2limcosxxxx0sin12limcosxxxx21120sin34limsin2xxx（）3311222256(5)limsin(2)xxxx2limsinxxx(6)2(2)lim(3)sin(2)xxxx1(1)12sinlim22xxx20tan2limxxx0sin323lim3sin22xxxxxxx2(2)(3)limsin(2)xxxx2sinlim1xxx二．第二个重要极限1lim(1)xxex1未定式204060802.552.62.652.7xye1lim(1)xxex1(1)xyxe-100-80-60-40-202.752.82.852.92.953.05xy1lim(1)xxex1lim(1)xxex1(1)xyx10lim(1)xxxe即1未定式有两种形式11lim(1)xxeuxx在中，令，则变形为10lim(1)uuue011lim(1)xxex10lim(1)xxxe02都称为第二个重要极限00xxxux如果当或者时，，那么1lim1uxuxe第二个重要极限可以推广为以下形式:1sin0lim1sinxxx如sinuxx这里0()sin0xuxx当时，1sin0lim1sinxxxe为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为：lim1Avxuxe则00limxxxuxuxvxA如果当或者时，，并且，32122(1)lim1;(2)lim1;(3)lim2xxxxxxxxxx例2：求下列极限解:（1）这里1,uxvxxx1()0xuxx当时，limxuxvx1limxxx111lim1xxex这里2,3uxvxxx2()0xuxx当时，limxuxvx2lim(3)xxx2322lim1xxex32(2)lim1xxx22(3)lim2xxxx224lim2xxxx24lim12xxx这里4,22uxvxxx4lim22xxx8limxuxvx282lim2xxxex课堂练习求下列极限22010sin5sin(1)sin7(1)lim;(2)lim;(3)limsin317xxxxxxxxxx252013(4)lim1;(5)lim1;(6)lim12xxxxxxxxxlimuxvx00~,~uxxvxx且，则有limlimuxxvxx等价无穷小代换法则：若为型未定式极限即型未定式在求极限时，可将分子分母用等价无穷小00替换后再求极限。三．利用等价无穷小代换计算未定式的极限00两个无穷小量，之比的极限称为型未定式极限．uxvxlimuxvx001000ln11limlimln1limln11xxxxxxxxx例如01lim1xxex可以证明0sinlim1xxx0sin~xxx当时，0ln(1)~xxx当时，01~xxex当时，需要记住的等价无穷小量有：0x当时sin~xxtan~xxln(1)~xx1~xex2~2xaxaa0sin5(1)limsin7xxx例3：求下列极限0sin5~5,sin7~7xxxxx时，05lim7xxx570ln(13)(2)limtanxxx0ln(13)~3,tan~xxxxx时，03limxxx3201(3)limln(12)xxex201~2,xxex时，02lim2xxx1ln(12)ln[1(2)]~2xxx011(4)limxxx011~2xxx时，02limxxx12039(5)limxxx20~2xxaxaa时，023limxxx162033limxxx20ln(13)(6)limxxx220ln(13)~3xxx时，203limxxx0lim30xx课堂练习利用等价无穷小代换求下列极限22030sin5sin(3)7(1)lim;(2)lim;(3)limtan39sin2xxxxxxxxxx22sin20011ln(14)(4)lim;(5)limsin1xxxxxxe第六节函数的连续性许多变量的变化都是连续的。如气温随着时间的变化，一般地，气温不会在极其短暂的时间内由2ºC突变到20ºC。由2ºC变到20ºC必然要经过一个时间过程，并且不是一个很短的过程。自然界中连续的现象还有很多，抽象到数学上来可以描述为：对函数，当自变量的改变量非常微小时，相应函数值的改变量也非常微小，且随着自变量的改变量趋于零，函数值的改变量也趋于零。()yfxx()yfx从几何上讲，函数在点连续，就是曲线在点不间断，即当横坐标从的左右两侧无限趋于时，纵坐标无限趋于处的纵坐标，如下图所示()yfx0x0x0xx00(,())xfx0xy0()fx0xxy()yfx00(,())xfx00()yfx一．函数连续的概念定义：设函数在附近有定义,如果当时，函数的极限存在,且等于它在点处的函数值,即)(xf)(xf0xx0x)(0xf)()(lim00xfxfxx)(xf0x那末就称函数在点连续.0xfx0x函数在点连续必须同时成立以下三个条件：0x1．在点有定义，即存在；0fx0limxxfx2．存在，即在有极限；0x00limxxfxfx3．极限值等于函数值，即．fx0x如果函数在点不能同时满足以上三个条件，则称函数在点间断，或称函数在不连续。0x0x例1：讨论函数在的连续性．sinxyx0x解：因为函数在没有定义sinxyx0x所以函数在不连续。sinxyx0x例2:讨论函数在处的连续性．12,1,1xxxfxex1x解：(1)123f1limxfx1limxfx1lim23xx11lim1xxe1lim()xfx不存在1x故该函数在处不连续有定义2222lim()lim2xxxxfxx例3:讨论函数在处的连续性．222232xxxfxxx2x解：(2)3f有定义2(2)(1)lim2xxxx2lim(1)xx3(2)f2x故该函数在处连续有时还需要用到函数在某一点单侧连续的概念000)lim(xxfxffxxx如果，则称在点处左连续000)lim(xxfxffxxx如果，则称在点处右连续例如：函数在点右连续，21yx1x1x在点左连续．1121yxxy例4:.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af00lim()lim()(0),xxfxfxf要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a二．间断点及其分类函数的不连续点称为间断点。如函数在不连续，所以间断点为sinxyx0x0x一般地，函数没有定义的点是间断点，极限不存在的点也是间断点，极限值不等于函数值的点仍是间断点。-11231234211xyx21,11xyxx在无定义1x是其间断点21(1)yxoxy1211(1)yxx在无定义1x是其间断点,0,()1,0,xxfxxx函数(00)0,f,1)00(f0(00)(00),lim()xfffx不存在0.x为函数的间断点oxy1,1()11,1xxfxxx函数在处oxy1121,11,1xxyx,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f0.x为函数的间断点000(),()xfxxfxx设为函数的间断点如果在处的左右极限都存在，则称为间断点，否则称为第一类第二类间断点。三．初等函数的连续性定理：000(),(),()()(),()(),(()0)().fxgxxfxfxgxfxgxgxgxx若函数在点处连续则在点处也连续例如,2,,sin,cos(,),xxexx在内连续2sin,cos,tan.xxxexx故在其定义域内连续即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续的（分母为零的点除外）。00000(),(),(),[()].uxxxxuyfuuuyfxxx设函数在点连续且而函数在点连续则复合函数在点也连续定理即由两个连续函数经过复合运算所得到的函数仍然是连续的。例如,1(,0),(0,),ux在内连续,),(sin内连续在uy1sin(,0),(0,).yx在内连续定理基本初等函数在定义域内是连续的.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合运算得到的并且由一个式子表达的函数。fx0x根据这一结论，求初等函数在某点的极限时，如果在的定义区间内，则函数在该点的极限值等于在该点的函数值．0xfxfxfx0fx即初等函数求极限的方法代入法.2ln1limcos2xxxx如ln21222cos221对初等函数求其间断点或连续区间时，只要求出其无定义的点即为间断点，在定义域内去除间断点便得到连续区间。例8：求函数的间断点和连续区间．2sin412xyxx解：24120xx时，2sin412xyxx无定义间断点为：126,2xx2412(2)(6)xxxx连续区间：,2,2,6,6,作业布置