初中数学数字找规律题技巧汇总

1/13初中数学数字找规律题技巧汇总通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n－1)b，其中a1为数列的第一位数，b为增幅，(n－1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a1+(n－1)b。例：4、10、16、22、28……，求第n位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n－1)6＝6n－2（二)、比值相等(等比数列)：例：2、4、8、16、…。第n项为：an=2n（三）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，即二级等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第n－1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。分析：数列的增幅分别为：3、5、7，……，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以，第n位数是：2+n2-1=n2+1此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。（四）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9、17、….分析:数列2、3、5、9,17…。的增幅为1、2、4、8….即增幅为等比数列，比为：2。那么，增幅数列(等比数列)1、2、4、8….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列(等比数列)1、2、4、8….的和为:设:s=1+2+4+8+…+2n-2,2s=2+4+8+16…+2n-12s-s=2n-1-1,所以:第n位数为:a1+s=2+2n-1-1=2n-1+12/13（五）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是100，第n个数是n。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。（此题也是二级等差数列，可以用上面的第三的种方法）序列号：1，2，3，4，5，……。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。也可以用另一种方法：序列号：1，2，3，4，5，……。给出的数：0，3，8，15，24，……。1×01×31×81×151×24……。2×43×54×6……。……。可得(n-1)(n+1)=n2-1（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（2n-1）2，分析：序列号：1，2，3，4，5．.......，从中可以看出n=2时，正好是(2×2-1)2,n=3时，正好是(2×3-1)2，以此类推。（三）看例题：1.2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18，....，答案与3有关且是n的3次幂，即：n3+12.2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关，即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1－1得0，当n=2时，2*2－1得3，3*3－1=8，以此类推，得到新数列的第n项为：n2-1。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项为：（n2-1）+2＝n2+1。3/13（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例：4，16，36，64，？，144，196，…？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n2，则求出第一百个数为4*（100）2=40000（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2、如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题（均为二级等差数列，所以均可用二级等差数列解）（1）、0，3，8，15，24，…….（2）、2，5，10，17，26，…….（3）、0，6，16，30，48,…….解：（1）第一组有什么规律？答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。即：n2-1（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即：n2+1第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：第一组第n项数的2倍，即：2（n2-1）（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？答：用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=194。也可以用：n2-1+n2+1+2（n2-1）化简后，取n=7得例2、观察下面两行数①、2，4，8，16，32，64，…….②、5，7，11，19，35，67,…….根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。）4/13解：第一组可以看出是2n，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2n+3，分析:数列5，7，11，19，35，67,……。的增幅为2、4、8、16….即增幅为等比数列，比为：2。那么，增幅数列(等比数列)2、4、8、16….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列(等比数列)2、4、8、16….的和为:设:s=2+4+8+16+…+2n-1,2s=4+8+16+32…+2n2s-s=2n-2,所以:第n位数为:a1+s=5+2n-2=2n+3则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相加得2051。例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，……，把白色和黑色分开来看，即黑色为：1、2、3、4、……。白色为：1、1、1、1、……。前n项的和为：（n+1）n/2+n=2002，解得n=61.8，即n=62（只能为整数），当n=62时，总的珠子数为：（n+1）n/2+n=（62+1）×62/2+62=2015，最后一个为黑色，所以前2002个中有62个白色的珠子，即黑色的珠子为：2002-62=1940个。例4、32-12=8，52-32=16，72-52=24……用含有N的代数式表示规律解：被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n个项为2n－1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n－1+2,得2n+1，则用含有n的代数式表示为：（2n+1）2-（2n－1）2=8n。写出两个连续自然奇数的平方差为888的等式解：通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8×111,得出n=111，代入公式：（222+1）－（222－1）=888五、对于数表1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型：按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1、和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。(1).等差关系。①.12，20，30，42，(56)、②.127，112，97，82，(67)③.3，4，7，12，(19)，28(2).移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。①.1，2，3，5，(8)，13②.0，1，1，2，4，7，13，(24)注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。③.5，3，2，1，1，(0)前两项相减得到第三项。2、乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。5/13①.8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。②.6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。①.2，5，10，50，(500)②.100，50，2，25，(2/25)③.3，4，6，12，36，(216)从第三项起，第三项为前两项之积除以2④.1，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加13、平方关系①.1，4，9，16，25，(36)，49为位置数的平方n2。②.66，83，102，123，(146)，看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加24、立方关系①.1，8，27，(81)，125位置数的立方n3。②.3，10，29，(83)，127位置数的立方加2③.0，1，2，9，(730)后项为前项的立方加15、分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：①.2/3，1/2，2/5，1/3，2/7,(1/4)……,将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8…….可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：2/（n+2）。6、质数数列①.2，3，5，(7)，11质数数列(注意：1不是质数，即：质数要除1以外)②.4，6，10，14，22，(26)每项除以2得到质数数列③.20，22，25，30，37，(48)后项与前项相减得质数数列。7、双重数列。又分为三种：(1)、每两项为一组，如：①.1，3，3，9，5，15，7，(21)第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3②.2，5